3.1.2 指数函数板书设计

2.2.2指数函数(第一课时) 授课教师：

江苏省邗江中学

仲一鸣

教材：苏教版高中数学必修一

一、教学目标

根据《江苏省普通高中课程标准教学要求》，本节课的教学目标定为：

（1）知识与技能：①理解指数函数的概念和意义；②理解指数函数的性质；③会画指数函数的图像，④能运用指数函数的单调性，比较两个指数式的大小。

（2）过程与方法：通过自主探索，让学生经历由“特殊到一般”的认知过程，体验数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法的运用。

（3）情感、态度、价值观：①通过教学互动，促进师生情感，激发学生学习兴趣，领悟数学学科的应用价值②通过指数函数中式与形的对应，数与形的统一，发展学生朴素的数学审美情趣。

二、教学重点、难点

（1）重点：指数函数图像、性质及简单运用

（2）难点：指数函数图像及性质的发现过程以及函数图像与底的关系。

三、教学方法与教学手段

（1）教学方法：“启、思、演、练、结”五字教学法

以具体的数学实例引入课题，启发学生探索指数函数的概念；通过提出问题，动手实践，鼓励学生积极思考指数函数的图像与性质；借助多媒体的动画演示，提高直观性与趣味性，为教学难点的突破，教学重点的掌握，提供帮助；教学中，教师及时精选些练习，使学生能当堂巩固与强化知识点。至于“结”：一方面是指教师在授课中的及时小结与点拨，另一方面是指学生在听课过程中的自我小结与反思。

（2）教学手段：

采用传统的黑板教学与现代多媒体技术相结合的教学手段，充分利用实物台展示，课件展示及几何画板的动画演示来提高课堂效率，增强课堂教学趣味性，弥补学生在课堂学习中的不足，

四、教学过程

1、新课引入

案例1：我会事先为学生准备四幅润扬大桥图片，并告诉他们大桥桥体的斜拉桥部分与我们本节课函数图像有着惊人的相似。以此来调动学生好奇心，吸引他们的课堂有益注意，从而迅速进入学习状态。

案例2：每个人头上的头发有很多，假设老师按学号向同学索要一些，要求1号拿两根；2号拿四根；3号拿八根，4号拿十六根，以此为规律，若每位同学所拿的头发数用y表示，每位同学学号用x表示，则能否给出y与x的关系式？

案例3：故事取自芝诺悖论：有人要走完一段路，第一次走这段路的一半，每次走余下路程的一半，请问最后能达到终点吗？如果我们引入两个变量x表示次数，y表示剩下路程，请问我们现在能不能建立y与x 的关系式？

1

1【思考分析】：案例（2）：y2x(xN),案例（3）：y()x(xN)

2【设问①】：两个解析式有什么共同特征？

【设问②】：它们是否能构成函数？你能给出类似的函数吗？

【设问③】：它们是否为我们学过的函数，如若不是，你能为它命名吗？

2、探索新知

（一）指数函数的定义

（板书）一般地，函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量。函数的定义域是R. 【提问】：定义中为什么规定a0且a1？

【合作探究】：将a如数轴所示分为：a0,a0，0a1,a1和a1五部分进行讨论：

11(1)如果a0, 比如y(4)x，这时对于x,x等，在实数范围内函数42值不存在；

x当x0时,a0(2)如果a0，；

x当x0时,a无意义(3)如果a1，y1x1，是个常值函数，没有研究的必要；

(4)如果0a1或a1即a0且a1，x可以是任意实数。

【说明】：因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在a0且a1的前提下，x可以是任意实数,即指数函数的定义域为R。

【课堂练习】：判断下列函数是否为指数函数？

(1)y(4)x;(2)yx4;(3)y4x;(4)y4x

（二）指数函数的图像

【问题1】：怎样得到指数函数的图像？

【学生口答】：描点法

【过程设计】：

1第一组、第二组：画出y2x的图象；第三组、第四组：画出y()x的图2象。另外请两位同学上黑板板演。

【教师活动】：及时指导、评析学生作图，然后利用课件播放已经做好的函数

图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。

【问题2】：以y2x的图像为例分析图像有哪些特征？

【师生互动】：（1）图像会不会穿过x轴往下走？（2）图像会不会拐弯往上走？

【问题3】：y3x的图像会和黑板上哪个图像比较相似？

【教师活动】：教师在黑板上再次通过描点作出y3x的图像，验证猜想。

2

1【问题4】：在同一个坐标系中给出y3x和y()x的图像，你能发现什么？

2【学生活动】：学生分组合作讨论，不加约束，畅所欲言。

【教师活动】：在学生充分讨论结束后，教师借助几何画板演示：当a变化时，图像变化的动态过程，多媒体技术的介入，使得学生从“特殊到一般”去归纳图像特征具有了一定的科学根据。

（三）指数函数的性质

根据指数函数的图象特征，由特殊到一般提炼指数函数的性质，学生填表：

a>1 0

图

象

(1)定义域：R 性

(2)值

域：(0，+∞)

(3)过点(0,1)，即x=0时，y=1 质

(4)在R上是增函数

(4)在R上是减函数

1【深入探究】：利用多媒体在同一个坐标系中给出y2x，y()x，y3x，21y()x四幅图像，让全体学生进一步观察讨论函数彼此之间的联系。

311【学生】：

y3x与y()x也关于y轴对称。y2x与y()x关于y轴对称；23【问题5】：你能再举出两个指数函数，使他们图像也关于y轴对称的吗？

【问题6】：你们能将这个性质推广成更一般的结论吗？

1【学生】：yax与y()x（a0,a1）关于y轴对称

a【问题7】：我们是否可以打破指数函数对我们的思维束缚，将这个结论推向更为一般的函数性质呢？

【学生】：yf(x)与yf(x)关于y轴对称。

（四）指数函数的应用

例（1）比较下列各组数中两个值的大小

(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.51.2,0.51.5;(3)1.50.3,0.81.2;(4)a,a(a0,a1)

【总结】：

1.当同底数并明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解；

2.当底数不同不能直接比较时：可借助中间数1，间接比较两个指数的大小；

3.当同底数但不明确底数a与1的大小关系时：要分情况讨论；．

例（2）：解指数不等式

3 1312

(1)已知3x30.5,求实数x的取值范围；（2）已知0.2x25,求实数x的取值范围。

【总结】：形如：求af(x)ag(x)(a0,a1)的不等式的解集关键是化成同底：

当a>1时

，原不等式等价于：f(x)＜g(x)；

当0

（1）课本P52:

1,2,4 （2）思考练习：求满足下列不等式的正数a的范围

①aa的a的取值范围；②aa的a的取值范围；

52365654、课堂小结

【学生小结】：1.数学知识点: 指数函数的概念、图象和性质；

2.研究函数的一般步骤:定义→图象→性质→应用；

【教师归纳】：

指数函数像朵花，（0,1）这点把它扎，

撇增捺减真给力，一起去把纵轴夹。

5、课后作业

（1）阅读作业：课本P49—P51全部内容

（2）书面作业：课本P54—55（①②③④）

（3）探究作业：对于任意的x1,x2R,若函数f(x)2x，试比较

f(x1)f(x2)xx2)的大小关系。

与f(122五、教学设计说明

1、本节课的是按照研究函数的一般规律设计的．由实例引入定义，根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质．学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解．要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就不会产生无所适从的感觉．

2、在教学过程中有几个问题值得注意：

①若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。

②不太会看图是很多学生在日后解题中暴露出的常见问题，因此在课堂要时刻注意培养学生识图用图的能力。

3、本节的容量较大，为了提高效率，采用了现代化教学手段，在引导学生观察分析了两种典型函数的图象、性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题也都投影了出来．但讲课时一定要注意体现过程教学．比如画函数图象，不能一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪，也要将建立坐标系、描点、用光滑曲线将这些点连接起来的整个过程展现出来．又如函数性质的教学，教师不应该急于给出性质，一定要先让学生有充分的时间观察图象，分析特征，最终使性质的出现显得呼之欲出。例题的解答也要让学生去分析，发现解法．这样有利于学生尽快掌握函数的性质，让学生在观察、发现、解决问题的过程中，建立起学好数学的信心．

4