信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计第二课时

课

题：8．1椭圆及其标准方程（一）

教学目的：

1．理解椭圆的定义

明确焦点、焦距的概念

2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程

3．能由椭圆定义推导椭圆的方程

4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

教学重点：椭圆的定义和标准方程

教学难点：椭圆标准方程的推导

教学过程：

一、复习引入： 1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,彗星海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年太阳后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

2.复习求轨迹方程的基本步骤：

3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在

画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉

近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆

分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

答：两个定点，绳长

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

二、讲解新课：

1

椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定

F1F2 （2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）

由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

2.根据定义推导椭圆标准方程：

P较扁（线段）

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）.

则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）

PPPF1PF22a

y又PF1(xc)2y2，

F1OF2Px(xc)2y2(xc)2y22a，

化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

22由定义2a2c,ac0

222222令acb代入，得 bxayab，

222x2y2两边同除ab得 221

ab22此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a2c2b2

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成F1(0,c),F2(0,c),只要将方程x2y221中的x,y调换，即可得

2aby2x221，也是椭圆的标准方程

2abyPF2OF1理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐x标轴上，且两焦这两个标准方程x2y2y2x2点的中点为坐标原点；在221与221ababx2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清中，都有ab0的要求，如方程mnxyx2y2两种形式的标准方程，可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，所以在x轴上的abab

“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小)

三、讲解范例：

例1

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（35,）

22解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2

221

(ab0)

ab2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21

所以所求椭圆标准方程为259

⑵

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

y2x21

(ab0)

a2b2由椭圆的定义知，

35352a()2(2)2＋()2(2)2

2222

311010210

22a10

又c2

b2a2c21046

y2x21

所以所求标准方程为106另法：∵

baca4

222235y2x21，后将点（,）的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程

∴可设所求方程2222aa4点评：题（１）根据定义求

若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；

题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出

方程

五、小结

：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a2c0；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；

③a、b、c的几何意义

八、课后记：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) x2y2y2x21；1）

(1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：1692521(2)

已知三角形ΔABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

x2y21

解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：2516若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，

x2y21

其方程为：1625

课

题：8．2椭圆的简单几何性质（一）

教学目的：

1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质

2．掌握标准方程中a,b,c的几何意义，以及a,b,c,e的相互关系

3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法

教学重点：椭圆的几何性质

教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质

教学过程：

一、复习引入：

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．标准方程：221，221

（ab0）

abab3．问题：

（1

（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范

（3

（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？a,b,c的

（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆

（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：

yP′A1B2PF2A2x究椭圆的性一致)

x2y2

由椭圆方程221(ab0) 研ab质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察(1)范围: F1QOx2y2

从标准方程得出21,21,即有abaxa,byb，可知椭圆落在B1P″xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性: 把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称．y换成y方程不变，图象关于x轴对称．把x,y同时换成x,y方程也不变，图象关于原点对称．

如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称

原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

x2y2在椭圆221的方程里，令y0得xa，因此椭圆和x轴有两个交点A(a,0),A2(a,0)，abx2y2它们是椭圆221的顶点

abx2y2令x0，得yb，因此椭圆和y轴有两个交B(0,b),B2(0,b)，它们也是椭圆221ab的顶点

因此椭圆共有四个顶点： A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)

加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.顶点即为椭圆与对称轴的交点. 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确了．

(4)离心率: 发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同

椭圆的的范围, 的作图

这种扁平性质由什么来决定呢？

概念：椭圆焦距与长轴长之比

y定义式：ecbe1()2

aaB2A1O范围：0e1

考察椭圆形状与e的关系：

A2B1x置圆，此时也e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位可认为圆为椭圆在e0时的特例

e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

五、小结

：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法

课

题：8．2椭圆的简单几何性质（二）

教学目的：

1.

掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质；

2．理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；

3．掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力

教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程

教学难点：椭圆第二定义

教学过程：

一、复习引入： 4.

回顾一下焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：

(xc)2y2＋(xc)2y2＝2a ⑴

cca2(xc)yax(x)，

aac22即

(xc)2y2a2xcc ⑵

a同时还有 (xc)2y2a2x()cc (3) a观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义

二、讲解新课：

1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这

个点的轨迹叫做椭圆

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

yN1K1PyK2N2PB2OF2A2N2F2A1F1A2K2xB1OB2N1xB12．椭圆的准线方程

A1K1F1

x2y2a2对于221，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x；

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x

cy2x2a2对于221，相对于下焦点F1(0,c)对应着下准线l1:y；相对于上焦点F2(0,c)对应caba2着上准线l2:y

ca2准线的位置关系：xa

ca2a2c2b2c焦点到准线的距离p（焦参数）

ccc其上任意点P(x,y)到准线的距离：（分情况讨论）

点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

五、小结

：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来

ca2x)（2）

上面(xa)y(ac22ca2x)aex

即(xa)y(ac22同样（3）也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚

本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义

使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑

利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学

使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益

课

题：8．2椭圆的简单几何性质（三）

教学目的：

1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；

2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；

3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念

教学重点：焦半径公式的的推导及应用

教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立

教学过程：

一、复习引入： 二、讲解新课：

x2y2

椭圆的焦半径公式：设M(x0,y0)是椭圆221(ab0)的一点,r1和r2分别是点M与点abF1(c,0),F2(c,0)的距离.那么（左焦半径）r1aex0,（右焦半径）r2aex0,其中e是离心率

推导方法一：

MF12(x0c)2y0，MF222(x0c)2y0

2MF1MF2224cx0，又MF1MF22a

c2cMFax0aex01x0MF1MF2a

acMF2ax0aex0MF1MF22a a即（左焦半径）r1aex0,（右焦半径）r2aex0

r1r2推导方法二：e,e

|MF1||MF2|yMr1e|MF1|e(ax0)aex0，

ca2r2e|MF2|e(x0)aex0

c2N1B2OF2N2K1A1F1A2K2xB1同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：MF1aey0MF2aey0 （

其中F1F2分别是椭圆的下上焦点）

ya+cBF1OF2a-cAx

注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关

可以记为：左加右减，上减下加

五、小结

：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解

课

题：8．2教学目的：

椭圆的简单几何性质（四）

1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数a,b的含义．

2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力

教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.

教学难点：深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 教学过程：

一、复习引入： 二、讲解新课：

1.问题：如图，以原点O为圆心，分别以a,b (ab0)为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M．求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程

解答：设A的坐标为(x,y),NOA，取

为参数，那么

xON|OA|cos

yNM|OB|sinxacos也就是 (为参数)

ybsinyBAMNxO这就是所求点A的轨迹的参数方程

xacosxacos将变形为

yybsinsinbx2y2发现它可化为221(ab0)，说明A的轨迹是椭圆

ab2.椭圆的参数方程xacos(为参数)

注意：角不是角NOM

ybsin五、小结

：

椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化

椭圆的参数方程的应用

课

题：8．3双曲线及其标准方程（一）

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；

2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；

3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用

教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组

教学过程：

一、复习引入： 1

椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关

2.椭圆标准方程：

x2y2y2x2222（1）221

（2）221 其中acb

abab二、讲解新课：

1．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线

即MF1MF22a

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2”

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）

两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）

双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

2．双曲线的标准方程：

根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程

过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明

取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

设P（x,y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c0）

则

F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1(c,0),F2(c,0)距离之差的绝对值等于2a2a2c

yPF1A1O（常数），PPPF1PF22a

A2F2x

又PF1(xc)2y2，

(xc)2y2(xc)2y22a，

化简，得：

(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，

由定义2a2c

ca0

令cab代入，得：b2x2a2y2a2b2，

22222x2y2两边同除ab得：221，

ab22此即为双曲线的标准方程

它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0),F2(c,0)，

其中cab

若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如轴上，则焦点是F1(0,c),F2(0,c)，将x,y互换，得到

222yF2A2O焦点在yy2x21，此也是双曲线的标准方程

a2b2xA1F13．双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0)；

aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab(2)a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0

222其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴

而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位22置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上

22

x2y2y2x2五、小结

：双曲线的两类标准方程是221(a0,b0)焦点在x轴上，221(a0,b0)abab焦点在y轴上

a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0

其中a与b的大小关系:可以为222ab,ab,ab

课

题：8．4双曲线的简单几何性质

（一）

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质

2．掌握标准方程中a,b,c的几何意义

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程

教学难点：渐近线几何意义的证明

一、复习引入： 名

称

椭 圆

y双 曲 线

y

图

象

OxOx

平面内到两定点F1,F2的距离的和为

平面内到两定点F1,F2的距离的差的

常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭绝对值为常数（小于F1F2）的动点的

圆。即MF1MF22a

轨迹叫双曲线。即MF1MF22a

定

义

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

当2a﹤2c时，轨迹不存在

标准方

程

x2y2焦点在x轴上时：

221 aby2x2焦点在y轴上时：221 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

x2y2焦点在x轴上时：221 aby2x2焦点在y轴上时：221

ab注：是根据项的正负来判断焦点所

在的位置

常数 acb（符合勾股定理的结构）

cab（符合勾股定理的结构）

222222a,b,cab0，

ca0

的关

a最大，cb,cb,cb

系

c最大，可以ab,ab,ab

二、讲解新课：

1．范围、对称性

x2y222由标准方程221可得xa，当xa时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值

ab这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

2．顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0 特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长

虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长

x2y2讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程221中，令y=0得xa，故它与x轴有abx2y2两个交点A1(a,0),A2a,0，且x轴为双曲线221的对称轴，所以A1(a,0),A2a,0与其对称轴ab的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的x2y2线段A1A2叫做双曲线221的实轴长，它的长是2a. abx2y2在方程221中令x=0得y2b2，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Yab轴上的两个特殊点B1(0,b),B20,b，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用

把线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长是2b

要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线

x2y2过双曲线221的两顶点A1,A2，作Y轴的平行线xa，经过B1,B2作X轴的平行线yb，四ab条直线围成一个矩形

矩形的两条对角线所在直线方程是ybxyx（0），

aab这两条直线就是双曲线的渐近线

bxyx2y2分析：要证明直线yx（0）是双曲线221的渐近线，即要证明

aabab随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢

也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ｜

越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜

但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把问题

转化为求｜MN｜

最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质

|MQ||MN|bbxx2a2

aab22＝(xxa)

ayQB2A1ONMA2xabxxa22

（|MQ|x0）

B14．等轴双曲线

a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成xya(或b)，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为yx

它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角

22225．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为ybkbxx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：akax2y2x2y21(k0)或写成22

ab(ka)2(kb)26．双曲线的草图

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定y限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部F1A1OA2F2称性画出完整的双曲线

五、小结

：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、双曲线的顶点及第一象线在第一象限从渐近线分，最后利用双曲线的对x实轴和虚轴、实轴长、虚bx2y2轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线221的渐近线是yx，但反过aab来此渐近线对应的双曲线则是

x2y2x2y21(k0)或写成22

ab(ka)2(kb)2课

题：8．4教学目的：

双曲线的简单几何性质

（二）

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质

2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养

教学重点：双曲线的渐近线、离心率

教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系

教学过程：

一、复习引入： 二、讲解新课：

7．离心率

概念：双曲线的焦距与实轴长的比e范围：e1

双曲线形状与e的关系：

2cc，叫做双曲线的离心率

2aabc2a2c2k1e21，

2aaa因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；

(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约

利用计算机动画先演示出“e的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解

这样做将有助于实在本节的这个难点

8．离心率相同的双曲线

x2y21的离心率e0；

(1)计算双曲线49x2y21吗？举例说明

如果存在很多的话，它们能否用一个特有的(2)离心离为e0的双曲线一定是49形式表示呢？

(3)离心率为13的双曲线有多少条？

2ca2b2bkb分析：e1()21()2的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与aaakaa=2,b=3有相同的比k：1(k>0)的双曲线，其离心率e都是13

29．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲

x2y2y2x21与1

线

如169916注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同

通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线

此即为共轭之意

1）

性质：共用一对渐近线

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上

2）

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

x2y2(0)，当3）

共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为1k20时交点在x轴，当0时焦点在y轴上

五、小结

：解例2这类应用题时，首先要解决以下两个问题：（1）选择适当的坐标系（通常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上，特殊点放在原点）；（2）将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表达出来（如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来）

课

题：8．4双曲线的简单几何性质

（三）

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质

2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念

3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念

4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程

教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程

教学过程：

一、复习引入：

二、讲解新课：

9．

双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数ec(ca0)的点的轨迹是a双曲线

其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线

常数e是双曲线的离心率．

10．准线方程：

yyF2A2F1A1OA2F2xOxA1F1

x2y2a2对于221来说，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x，相对于右焦点F2(c,0)对应caba2着右准线l2:x；

c

a2b20

焦点到准线的距离p位置关系：xa（也叫焦参数）

ccy2x2a2对于221来说，相对于上焦点F1(0,c)对应着上准线l1:y；相对于下焦点F2(0,c)对应caba2着下准线l2:y

c11 .双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径

焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线

x2y21 (a0,b0)，

a2b2F1,F2是其左右焦点

则由第二定义：MF1d1e，

MF1x0ac2e MF1aex0

同理

MF2aex0

即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aex0

MF2aex0同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aey0MF2aey0 （

其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点）

点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）

12．焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦

焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：

设两交点A(x1,y1)B(x2,y2)

当双曲线焦点在x轴上时，

焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

过左焦点与左支交于两点时：

AB2ae(x1x2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(x1x2)

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：AB2ae(y1y2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(y1y2)

13．通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

2b2直接应用焦点弦公式，得到 d

a课 题：8．5抛物线及其标准方程（一）

教学目的：

1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；

2．根据定义画出抛物线的草图 3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平 教学重点：抛物线的定义

教学难点：抛物线标准方程的不同形式

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 3．问题：到定点距离与到定直线距离之M轨迹，当01时是双曲线。Ne=1时轨迹是什么？

KAF若一动点到定点F的距离与到一条定直一个常数e1时，那么这个点的轨迹是什么比是定值e的点的此时自然想到，当线l的距离之比是曲线？

NKAFM

把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 二、讲解新课：

1. 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线

定点F叫做抛物线的焦点，定

直线l叫做抛物线的准线 2．推导抛物线的标准方程：

如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p（p>0）,那么焦点DyMKO(1)F的坐标为(Fxp,0)，2p准线l的方程为x，

2设抛物线上的点M（x,y），则有(x化简方程得

y22px 方程y22pxp2p)y2|x|

22p0

p0叫做抛物线的标准方程

（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（pp,0），它的准线方程是x

22 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 2223．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程如下：

DyMyyMKO(1)FxMxDDOyKOxFOF(3)KxM(4)DF(2)2KD

pp,0)，准线l：x

22pp2(2)x2py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22pp2(3)y2px(p0), 焦点:(,0)，准线l：x

22pp2(4) x2py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22(1)y2px(p0), 焦点:(相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12pp ，即442不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y22轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自

己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果

，进一步明确抛物线上的点的几何意义 （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式

另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好 （3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们 五、小结

：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；

课

题：8．6抛物线的简单几何性质（一）

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论

已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p

本节分两课时进行教学

第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3

教学过程：

一、复习引入： 二、讲解新课：

抛物线的几何性质

1．范围

因为p＞0，由方程y2pxp0可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以2这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y代y，方程y2pxp0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛2物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y22pxp0中，当y=0时，x=0，因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

对于其它几种形式的方程，列表如下：

标准方程

图形

y顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y22px

p0lOFx0,0

x轴

p,0

2xp

2e1

yy22px

p0FOx0,0

x轴

p,02

xp

2e1

l

x22py

p0

0,0

y轴

p0,

2yp

2e1

x22py

p00,0

y轴

p0,

2yp

2e1

注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率

附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）

y2A0假设抛物线y＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛物线上一点，

AA0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，

Ox

则有y2px和y1＝mx＋n．

∴

y1ymxn2px

xmn2p

xx当m≠0时，若x→＋∞，则y1y

当m＝0时，y1yn22px，当x→＋∞，则y1y

这与y＝mx＋n是抛物线y＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线

五、小结

：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等

课

题：8．6抛物线的简单几何性质（二）

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

教学过程：

一、复习引入：

抛物线的几何性质：

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

二、讲解新课：

1.抛物线的焦半径及其应用：

定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径

焦半径公式：

抛物线y22px(p0)，PFx0ppx0

22ppx0 22抛物线y22px(p0)，PFx0抛物线x2py(p0)，PFy02ppy0 22ppy0

22抛物线x2py(p0)，PFy022．直线与抛物线：

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

下面分别就公共点的个数进行讨论：对于y22px(p0)

当直线为yy0，即k0，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点

当k0，设l:ykxb

将l:ykxb代入C:Ax2Cy2DxEyF0，消去y，得到

关于x的二次方程axbxc0 （*）

2若0，相交；0，相切；0，相离

综上，得：

联立ykxb2axbxc0

，得关于x的方程2y2px当a0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）

当a0，则

若0，两个公共点（交点）

0，一个公共点（切点）

0，无公共点 （相离）

（2）相交弦长：

弦长公式：d1k2，其中a和分别是ax2bxc0（*）中二次项系数和判别式，k为直a线l:ykxb的斜率

当代入消元消掉的是y时，得到aybyc0，此时弦长公式相应的变为：

2d112

ak（3）焦点弦：

定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

焦点弦公式：设两交点A(x1,y1)B(x2,y2)，可以通过两次焦半径公式得到：

当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

抛物线y2px(p0)，

ABp(x1x2)

2抛物线y2px(p0)，

ABp(x1x2)

2当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：

抛物线x2py(p0)，

ABp(y1y2)

2

抛物线x22py(p0)，ABp(y1y2)

（4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

直接应用抛物线定义，得到通径：d2p

（5）若已知过焦点的直线倾斜角

2pp2pyyyk(x)22yp201则k

2yk22yypy2px1212p4p22p2AByy

y1y24p1222sinsinsink（6）常用结论：

p2pk2p2yk(x)22222yp0和kx(kp2p)x0

2yk42y2pxy1y2p2和x1x2p

43．抛物线的法线：

过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：

y经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图．

平行于轴切线抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光xO法线源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的

2x2pt24．抛物线y2px(p0)的参数方程：（t为参数）

y2pt 五、小结

：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式

课

题：小结与复习（一）

教学目的：

1

通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系

2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识

3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质

教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

名

称

椭 圆

y双 曲 线

y

图

象

OxOx

平面内到两定点F1,F2的距离的和

定

义

为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1MF22a

平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF22a

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2

当2a﹤2c时，轨迹不存在

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

焦点在x轴上时：x2y2

焦点在x轴上时：

221 2xy2ab

21 2ab

22yx焦点在y轴上时：标准方

焦点在y轴上时：221 ab程

y2x2 注：是根据分母的大小来判断焦点21

2ab在哪一坐标轴上

常数 acb，ab0，

222c2a2b2，ca0

a,b,c a最大，cb,cb,cb

的关

系 c最大，可以ab,ab,ab

焦点在x轴上时：

渐近线

xy0 ab焦点在y轴上时：

yx0

ab抛物线：

yyylyOF图形

lxOFxFOxFOlx

l

方y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

程

焦点

准线

x22py(p0)

p(0,)

2py

2p(,0)

2px

2(p,0)

2px

2p(0,)

2py

2二、章节知识点回顾：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．椭圆的标准方程：221，221

（ab0）

ababx2y23．椭圆的性质：由椭圆方程221(ab0)

ab(1)范围:

axa,byb，椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

(4)离心率:

椭圆焦距与长轴长之比ecbe1()20e1

aa椭圆形状与e的关系：e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例

e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

5．椭圆的准线方程

x2y2a2a2对于221，左准线l1:x；右准线l2:x

ccaby2x2a2a2对于221，下准线l1:y；上准线l2:y

ccaba2a2c2b2c焦点到准线的距离p（焦参数）

ccc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）r1aex0,（右焦半径）r2aex0,其中e是离心率 焦点在yMF1aey0轴上的椭圆的焦半径公式：（

其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点）

MFaey20

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关

可以记为：左加右减，上减下加

7椭圆的参数方程xacos(为参数)

ybsin8．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线

即MF1MF22a

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）

两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）

双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

9．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0)；

aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab(2)a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0

222其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母的大小22来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴

而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的

位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上

211．双曲线的几何性质：

（1）范围、对称性

x2y2由标准方程221，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着xab的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

（2）顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0，特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长

虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

bxyx2y2过双曲线221的渐近线yx（0）

aabab（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率

范围：e1

2aabc2a2c2双曲线形状与e的关系：k1e21，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就2aaa大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

12．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e13．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y2

bkbxx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：akax2y2x2y21(k0)或写成22

22ab(ka)(kb)14．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线

区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同

共用一对渐近线

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

15．

双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数ec(ca0)的点的轨迹是a双曲线

其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线

常数e是双曲线的离心率．

16．双曲线的准线方程：

x2y2a2对于221来说，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x，相对于右焦点F2(c,0)对应caba2着右准线l2:x；

cb2焦点到准线的距离p（也叫焦参数）

cy2x2a2对于221来说，相对于上焦点F1(0,c)对应着上准线l1:y；相对于下焦点F2(0,c)对应caba2着下准线l2:y

c17 双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aex0

MFaex20焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aey0MF2aey0 （

其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点）

18．双曲线的焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦

焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：

AB2ae(x1x2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(x1x2)

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：AB2ae(y1y2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(y1y2)

19．双曲线的通径：

2b2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d

a20

抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 21．抛物线的准线方程：

pp,0)，准线l：x

22pp(2)x22py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22pp(3)y22px(p0), 焦点:(,0)，准线l：x

22pp(4) x22py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22 (1)y22px(p0), 焦点:(相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12pp ，即442不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y22轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 22．抛物线的几何性质

（1）范围

因为p＞0，由方程y2pxp0可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以2这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

（2）对称性

以－y代y，方程y2pxp0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛2物线的轴．

（3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2pxp0中，当y=0时，x=0，因此抛物线2y22pxp0的顶点就是坐标原点．

（4）离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

23抛物线的焦半径公式：

抛物线y2px(p0)，PFx02ppx0

22ppx0 22抛物线y2px(p0)，PFx02

抛物线x22py(p0)，PFy0ppy0 22ppy0

22抛物线x22py(p0)，PFy024．直线与抛物线：

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

将l:ykxb代入C:Ax2Cy2DxEyF0，消去y，得到

关于x的二次方程axbxc0 （*）

2若0，相交；0，相切；0，相离

综上，得：

联立ykxb2，得关于x的方程axbxc0

2y2px当a0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）

当a0，则

若0，两个公共点（交点）

0，一个公共点（切点）

0，无公共点 （相离）

（2）相交弦长：

弦长公式：d1k2，

a（3）焦点弦公式： 抛物线y2px(p0)，

ABp(x1x2)

2抛物线y2px(p0)，

ABp(x1x2)

2抛物线x2py(p0)，

ABp(y1y2)

2抛物线x2py(p0)，ABp(y1y2)

2（4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d2p

（5）若已知过焦点的直线倾斜角

2pp2pyyyk(x)22yp201则k

2yk22y2pxyyp12

12p4p22p2AByy

y1y24p12sinsin2sink2（6）常用结论：

p2pk2p2yk(x)22222yp0和kx(kp2p)x0

2yk42y2pxy1y2p2和x1x2p

42x2pt25．抛物线y22px(p0)的参数方程：（t为参数）

y2pt 