3.1.3 空间向量的数量积运算板书设计及设计说明

空间向量的数量积运算(理) 【学习目标】

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法

2．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．

【学法指导】

【重点难点】

重点：掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．

难点：掌握两个向量的数量积的主要用途

【学情分析】

数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积．通过向量积的运用，培养数学应用意识. 自主学习内容

回顾旧知：

平面向量数量积的公式

二、基础知识感知

阅读教材第90—62页内容，然后回答问题 一、空间向量的夹角

→→1．如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的________，记作________．

2．a，b＝b，a，a和b的夹角的范围是________，其中当a，b＝0时，a与b________；当a，b＝π时，a与b________. π3．当a，b＝时，a与b________. 24．若a∥b，则a，b＝________，若a⊥b，则a，b＝________. 二、空间向量的数量积

1．数量积的定义

(1)已知a，b是两个非零向量，则________叫做a，b的数量积，记作________，即a·b＝________. 规定，零向量与任一向量的数量积为________，即0·a＝________. (2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的________的乘积．

2．数量积的运算律

(1)(λa)·b＝________.

(2)交换律：a·b＝________.

(3)分配律：a·(b＋c)＝________.

3．数量积的性质

若a，b是非零向量，则a⊥b⇒________若a与b同向，则a·b＝|a||b|；

两个向量数[来源学科网Z,X,X,K][来源:Zxxk.Com]

若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a

若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________ |a·b|≤|a||b| 量积的性质

2．空间向量数量积的性质及几何意义

(1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零．

(2)若向量a，b是非零向量．则a·b＝0⇔a⊥b. (3)特例与变形：

①若a是单位向量，则a·b＝|b|cosa·b②cos＝；

|a||b|③a·a＝|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与|b|在a的方向上的投影|b|cos的乘积．

3．空间向量数量积运算与运算律

向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足：

①消去律，即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能约分；

②乘法结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线．

三、探究问题

重点1

空间向量的数量积的运算

[例1]

如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：

→→→→（1）EF·DC；

(2)AB·CD.

a·ba，b；

小组讨论问题预设：

变式1

设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________. 课堂展示问题预设：

重点2

利用空间向量的数量积求夹角

[例2]

(2014·山东高密高二检测)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC和CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．

课堂训练问题预设：

→→变式2

如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量A1C1与DE所成角的余弦值

整理内化：

1、课堂小结

2、本节课学习内容中的问题和疑难