2.5 等腰三角形的轴对称性设计意图

2.5 等腰三角形的轴对称性（3）

1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

教学目标

2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验；

3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力；

4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性．

教学重点

教学难点

探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题．

引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

．

学生活动

学生回顾：

复习回顾等腰三角形的设计思路

教学过程（教师）

情境创设

提问：

1．等腰三角形有哪些性质？

2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？

1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的性质及判定方法，为下面解决高线、中线及顶角平分线重合．

2．判定一个三角形是等腰三角形的方法：

（1）根据定义，证明三角形有两边相等；

问题作铺垫，同时也明确无论是证明线段相等还是折出等腰三角形，都只要证（寻）得（2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相

相等的角即可．

等．

应用反馈

根据你所掌握的方法独立解决下列问题：

1．已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．

思考：（1）上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？试证明你的结论．

BCADE学生独立思考分析，代表发言．

解：△ABC是等腰三角形．

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．

∵∠EAD＝∠DAC，

∴∠B＝∠C．

∴AB＝AC（等角对等边）．

学生板演．

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．

对等腰三角形的判定方法的直接应用，同时也为下面折纸活动作铺垫．

“思考”两题是第1题的变式，同时也是“等边对等角”性质的应用．

培养学生积极思考，举一反三的思维习惯，也培养学生的归纳概括能力．

（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？

通过这一系列问题的解决，你有什么发现？

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C

（等边对等角）

．

∴∠EAD＝∠DAC．

∴AD平分∠EAC．

学生交流想法，代表发言．

归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．

活动一：

操作·探索

1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？

[来源:学。科。网Z。X。X。K]学生思考，操作，小组内交流．

激发学生的学习兴趣，也1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD明确操作活动的目的，为在折是等腰三角形； AAAA

纸过程中发现直角三角形的性质作铺垫．

通过折纸，让学生亲历操DD作——观察——发现——归纳的过程，体验“做数学”，CBCB

2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．

3．提问：观察图形，你还有哪些发现？

CBCB

图（2）

图（3）

发展空间观念，提高动手能力．

设计这个活动的目的是通过观察线段CD把直角三角形ABC分成的2个三角形，进一步获得直角三角形与斜边的关系．实质是从中引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD．

3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言．

有4个直角三角形全等；

BD＝CD＝AD；

……

累数学活动经验．

相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯，同时也培养学生合作交流精神和发散思维能力.

活动二：探索·说理

1．提问．

（1）D是斜边AB的中点吗？

（2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？

2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三

1．在刚才讨论交流的基础上，学生回答，得出结论：

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

．

2.（1）画出Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD为斜边上的中

在相互交流的过程中，培养学生的归纳概括能力．

巩固证明文字命题的一般步骤．

A角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说线．

明理由吗？

（1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？

1（2）思考：怎样说明CD＝AB？

2分析：

在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？

[来源:Z§xx§k.Com]

D引导学生进行严格的证明，使学生进一步体会证明的必要性．

提供学生充分讨论和交

BC流的机会，鼓励学生进行不同（2）首先独立思考，尝试证明，再小组讨论交流，代表发证明思路的交流和讨论．

言，说明如何想到证明思路的？

引导学生回顾折纸过程，①通过折叠，使∠BCD＝∠B，从而确定斜边AB的中点D，从而明确像折叠那样使1假设已知CD＝AB，那么我们可以得出2并发现结论，所以说理时也可以在∠ACB内作∠B＝∠BCD，在∠BCD＝∠B，就能逐步证得

怎样的结论？这对于你说明结论有启发吗？

证明CD是斜边上的中线时也能证明结论；

3．小结．

（1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并用符号语言表述；

（2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件．

4．尝试练习．

4．学生口答，并说明理由． （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，②如果CD＝1AB，那么CD＝BD＝AD，∠A＝∠ACD，

2结论，目的是使学生感受合情推理有助于发现证明思路和方法．

让学生了解“分析法”，逐步学会自己进行分析寻找解题思路．

展现学生的思路，并通过讨论，引导学生体会推理的思考方法，并由学生自己逐步完善证明的思路．使学生认识将探索和证明有机的结合起来和演绎推理都是人们正确的认识事物的重要途径．同时，培养学生“言之有理，落笔有据”的习惯．

回归教材，阅读课本，培∠B＝∠BCD，那么首先需作CD使∠A＝∠ACD或∠B＝

∠BCD，再证CD为斜边AB上的中线，且CD＝BD＝AD即可；

③阅读课本．

3．学生口答，板书．

∵

在△ABC中，∠ACB＝90°，

点D是AB的中点，

1∴

CD＝

AB．

21CD＝AB＝2cm．

（1）Rt△ABC中，如果斜边AB 为4cm，2

那么斜边上的中线CD＝_______cm．

（2）①根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，养学生的阅读理解能力．

[来源:Zxxk.Com]（2）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB＝2CD＝4.8cm．

AB上的中线，DE⊥AC，垂足为E．

①如果CD＝2.4cm，那么AB＝

cm．

②写出图中相等的线段和角．

CEBDA

通过尝试练习，及时巩固②CD＝BD＝AD，CE＝AE，∠A＝∠ACD，

∠B＝∠BCD，∠ACB＝∠DEA＝∠DEC＝90°．

（3）因为CA＝CB，CD⊥AB，根据“等腰三角形底边上的（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，高线、中线及顶角平分线重合”得AD＝BD

，又因为∠ACB＝定理的应用．

CA＝CB，如果斜边AB＝5cm，那么斜边上的90°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得

高CD＝

cm．

CBAD（1）已知斜边上的中线长，应用定理求出斜边长．

（2）综合应用等腰三角形“三线合一”的性质和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．学生回答时，要求他们说明理由，及时巩固1CD＝AB＝2.5cm．

2

等腰三角形的性质和直角三角形的这一性质，同时也锻炼学生有条理的表达能力．

例题讲解

1．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？

试证明你的结论．

A

1．独立思考，尝试用分析法推理证明思路．

学生猜想后追问为什么这样猜想，引导学生认识到可以通过度量或叠合等操作获得线段（或角）之间的数量关系的感性认识，以便作出合理猜想.

引导学生采用分析法推理证明思路. 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力. BC

学生口答，说明自己的思考过程．

提问引导：

（1）对于BC与AB的数量关系，你有

何猜想？你为什么作这样的猜想？

（2）我们猜想BC＝1AB，根据我们学2（1）猜想：BC＝1AB；

2

指导学生进一步规范证明的书写格式.

[来源:学科网ZXXK]（2）联想：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，11过的知识，什么与AB相等？这对于你证明也有AB，作斜边上的中线CD，则CD＝BD，如果结论成立，22结论有启发吗？

（3）指导学生完成证明过程（投影）．

A则△BCD为等边三角形，∠B＝60°，由已知条件易得；

（3）书写证明过程．

解：BC＝1AB．

2

作斜边上的中线CD，

D∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝60°．

BC∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，

1∴CD＝AB＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2半）．

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

2．已知：如图，点C为线段AB的中点，

∠AMB＝∠ANB＝90°.CM与CN是否相等？为什么？

1∴BC＝CD＝AB．

2

第2题也是巩固“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的应用. NMAOCB

2．独立思考，完成证明过程，学生板演．

解：CM＝CN．

∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，

11∴CM＝AB，CN＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜22边的一半）．

∴CM＝CN．

指导学生完成证明过程，对板演点评．

指导学生活动

完成练习：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、

N分别是AC、BD的中点，试说明：

（1）MD＝MB； （2）MN⊥BD．

练习是例2的变式，也有助于了解学生对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和等腰三角形性质的掌握情况．

DANMB课堂小结

这节课你有哪些收获？

C

及时对所学进行反思和说一说自己的收获．

1．知道直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线小结，便于知识内化．

等于斜边的一半，并会应用性质定理解决问题．

2．通过折纸等操作活动能发现结论，用分析法也可以帮助我们寻找证明思路.