习题2.1优质公开课教案

第二章

基本初等函数

2.1 指数函数

一、核心要点

1）根式的运算性质：

（1）有理数指数幂的运算性质：①arasars(a0,r,sQ)；②(ab)rarbr(a0,b0,rQ)

③(as)rars(ar)s(a0,r,sQ)；

（2）根式恒等式：①(na)na；②当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a,a0a,a0

1m（3）分数指数幂的运算法则：①正分数指数幂：anna(a0)；an(na)mnam(a0,m,nN)；

②负分数指数幂：amn1m(a0,m,nNm，且ann为既约分数)；

③0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义；

2）指数函数的图像及其性质 yaxa10a1图像性质①定义域：R②值域：(0,)③定点：(0,1)④在 上是 函数在 上是 函数

例题巩固：

例1、（定点问题）函数f(x)ax1(a0,且a1)的图像过定点 .

练：函数f(x)ax1(a0,且a1)的图像过定点 练：函数f(x)axx2的图像过定点 例2、（单调心、最值）函数yax(a0,且a1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是

练：函数yax(a0,且a1)在[a,a2]上的最大值是最小值的3倍，则a的值是 2.2

对数函数

一、

核心要点

1）对数式与指数式的互化axNxlogaN；

2）对数运算性质：①loga(MN)logaMlogaN；②logMaNlogaMlogaN；

③lognaMnlogaM；

3）换底公式与对数恒等式： ①

loga10；

②logaa1；

③xlogaxx；

④loglogcblgbabloga；⑤log1log⑥lognab；

ambnlogab

calgbam4）对数函数图像及其性质：

ylogaxa10a1图像性质①定义域：②值域：③定点：④在 上是 函数在 上是 函数设 ，在 轴上方y1logax,y2logbx,其中a1,b（或10a1,0b1)x补充性质当 时，“底大图低”，即x1若ab,则y1y2当 时，“底大图高”，即0x1若ab,则y1y2

备注：①常用对数：lgxlog10x；自然对数：logexlnx(其中e2.71828)；

例、求函数y2x22x3的单调递增区间；

②指数函数与对数函数互为反函数，图像关于yx对称；

二、例题巩固 例1、（对数运算）(lg2)2lg4lg5(lg5)2

练：2log510log50.25

例2、（对数方程）logx21(2x23x1)1；

练、（对数不等式）不等式log22(2x3x2)0的解为 例3、（定点问题）函数yloga(x1)2的图像过定点

练：函数yloga(x2)2x1图像过定点 例4、（对数函数图像）如图是对数函数ylogax的图像，已知a取

值3,43,35,110，则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次是（

）

A．3,4314133,5,10

B．3,3,10,5

C．43,3,35,110

D．43,3,1310,5

练：曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数yxx1a,y2b,y3cx,y4dx

的图像（如右图），判断a,b,c,d,1的大小关系是

；

引申：复合函数yf(g(x))的单调性（同增异减）

练：求函数yx22x3的单调递增区间；

练：函数ylog21(x2x3)的单调递增区间为 22.3 幂函数

一、核心要点

1）特殊幂函数的图像

yyx3yx2

2yx

1

1yx2

yx1

-2-1o12x

-12）幂函数的图像和性质：

-2

（1）所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图像都通过点(1,1)；

（2）如果0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)上是增函数；

（3）如果0，则幂函数在区间(0,)上是减函数．

二、例题巩固

例：函数f(x)(a2a1)xa22a3为幂函数，且在(0,)上是减函数，则a

专题：指数、对数、幂大小的比较；

步骤：①分组②组内比较③排序

（1）如果两数类型相同，则可利用函数的单调性进行比较

（2）如果两数的底数、指数、真数均不相同，通常引入中间变量（0或1）进行比较。

alog11例：设112，b()2，c(2)2，则a,b,c的大小关系为 333