小结国家获奖教案

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知识点一

集合的含义与表示

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集.其中每个对象叫做元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法.它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法. 知识点二

元素与集合、集合与集合之间的关系

元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可.对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A⊈B，其中A⊆B又可分为AB与A＝B两种情况，在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形. 知识点三

集合与集合之间的运算

并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

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知识点四

映射与函数的概念

已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.由定义可知在A中的任意一个元素在B中都能找到唯一的像，而B中的元素在A中未必有原像.若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A到B的一一映射.函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数. 知识点五

函数的单调性

1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键. 2.函数单调性的证明

根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：

(1)取值：任取x1，x2∈D，且x10；

(2)作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；

(3)判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；

(4)下结论：根据定义得出结论. 3.证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调递增函数⇔任意x10⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；(2)f(x)是单调递减函数⇔任意x1f(x2)x1－x2fx1－fx2⇔<0⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0. x1－x2知识点六

函数的奇偶性

判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.

题型一

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏. 例1

已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

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(2)是否存在a，使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解

(1)A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0，或x>2}. ∵(∁RA)∪B＝R. a≤0，∴∴－1≤a≤0. a＋3≥2，

(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾.即这样的a不存在. 跟踪训练1

(1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝______. (2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(

) A.(－∞，2]

B.[1,2]

C.[－2,2]

D.[－2,1]

答案

(1){6,8}

(2)D 解析

(1)∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}. ∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}. (2)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，

∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1} ＝{x∈R|－2≤x≤1}. 题型二

函数的概念与性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合. mx2＋25例2

已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 33x＋n(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值. 解

(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

mx2＋2mx2＋2mx2＋2∴＝－＝. －3x＋n3x＋n－3x－n比较得n＝－n，n＝0.

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4m＋255又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 363∴实数m和n的值分别是2和0. 2x2＋22x2(2)由(1)知f(x)＝＝＋. 3x33x任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

121－则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)x1x2

3x1x2－12＝(x1－x2)·. 3x1x2∵－2≤x1＜x2≤－1，

∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

45∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 33跟踪训练2

设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)

∵f(x)是定义在R上的函数，且f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数. 又f(x)在(－∞，0)上单调递增，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 17又2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，

482a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0，

由f(2a2＋a＋1)

22a2＋a＋1>2a2－4a＋3，得5a>2，a>. 52∴a的取值范围是a>. 5题型三

函数图象及其应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例3

对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.

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解

(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. 22x－2x＝x－1－1x≥0，2(2)f(x)＝x－2|x|＝2

2x＋2x＝x＋1－1x＜0.

画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；

单调减区间是(－∞，－1]，[0,1].

31跟踪训练3

对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)22的最小值是________. 答案

2 31解析

首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某2231个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个. 22如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).

从图象观察可得函数f(x)的表达式：

－x＋3，

0

1

x>5.2x2－4x＋3，

x≤0，

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f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2. 题型四

抽象函数问题

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题. 例4

函数f(x)对一切实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由. 解

方法一

设任意的x1，x2∈R，且x1

则x2－x1>0.由条件x>0时，f(x)>0，

∴f(x2－x1)>0. 又f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f((x2－x1)＋x1) ＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1) ＝－f(x2－x1)<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

∴函数f(x)为R上的增函数. 方法二

设x1∈R，令x2＝x1＋a(a>0)，

则x1

那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋a) ＝f(x1)－f(x1)－f(a)＝－f(a). 又当a>0时，f(a)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

∴函数f(x)为R上的增函数. 跟踪训练4

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0. 求证：(1)f(x)是偶函数；

(2)f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的. 证明

(1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]

＝f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)＝0.

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∴f(－x)＝f[(－1)×x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)设0

x2则f(x2)－f(x1)＝f[x1()]－f(x1) x1x2x2＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f(). x1x1∵x2>x1>0，

x2∴>1. x1x2∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0. x1∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.

分类讨论思想

分类讨论思想的实质：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题，函数性质中求参数的取值范围问题等. 例5

设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值. 解

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；

当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. t＋1，t＜0，综上所述，f(x)min＝1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t＞1.2

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跟踪训练5

已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C. 解

∵A∪B＝A，∴B⊆A. (1)当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1. (2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题意. 故实数a组成的集合C＝{0,1,2}.