2.2.1 函数的单调性教案及板书设计

函数单调性的应用

任亚妮

※学习目标 :（1）会利用函数的单调性解决最值或值域问题

（2）会利用函数的单调性求参数的取值范围

※教学重点：函数单调性的应用

※教学难点：能灵活的使用单调性解决最值或值域问题，会利用单调性求参数的取值范围

※知识梳理：

1.单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞那么就说函数f(x)在区间D上f(x2)，那么就说函数f(x)是增函数

在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是 自左向右看图象是 2.函数的最值

前提

条件

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意x∈I，都有

；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意x∈I，都

；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

a3．请画出对勾函数y＝x＋(a>0)图象，并分析单调性

x

4.

若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数

(1)增函数+增函数=

；

减函数+减函数=

；

增函数－减函数=

；减函数－增函数=

；

(2) 若f(x)为增函数，则－f(x)为

函数；

若f(x)为增函数，则－f(x)为

函数。

(3) y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是增函数．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是减函数．简称

※

[探究题型1]

函数的值域与最值

1(1)函数f(x)＝(3)x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

2(2)函数f(x)＝3x＋x，x∈[1，2]的值域为______．

变式训练

(1)

求函数y＝x－

（2）求函数y＝

x2＋521－2x的最大值．

的最小值．

x＋4

规律方法：

利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b). ※[探究题型2]

利用单调性求参数范围

(1)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)

(2)已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是________．

变式训练：

（1）已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，1则满足f(2x－1)

2－x＋4x，x≤4，（2）设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，log2x，x＞4.则实数a的取值范围是(

)

规律方法

(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．

(2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

※当堂检测

11．

已知f(x)为R上的减函数，则满足f x＞f(1)的实数x的取值范围是________. 

x2＋x＋12.求y＝的值域；

x

3.求y＝2x＋1＋x的最值；

※课堂小结

1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先．

2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．

a3．对于对勾函数y＝x＋(a>0)，单调递增区间：(－∞，－a]，[a，＋∞)；x单调递减区间：[－a，0)，(0，a]．

4.单调性常可以用来解决最值问题和求参数范围。

备选题

1(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥2时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为(

) A.2

(2)若函数f(x)＝

B.3

C.4

D.－1 ax－1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________. x＋1