对顶角、余角和补角教学内容概述

《余角与补角》教学设计

(七年级下册·第二章第一节)

一、【教材分析】

1．教学内容

本节内容是北师大版教材《数学七年级（下）》第二章《平行线与相交线》的第一节，主要内容是理解余角、补角、对顶角的定义及性质． 2．地位与作用

本节课是学生在学习了“角、直角、平角的定义”、“角的大小比较”等内容的基础上，对角与角之间关系的进一步深入和拓展，它为以后证明角相等提供了一种重要依据．因此本节课起着承上启下的作用．同时本节课中从“数量”关系定义余角、补角，从“位置”关系定义对顶角，使学生对定义认识的深度、广度得以拓展．

二、【学情分析】

1．知识基础：学生已经学***角，比较角的大小等有关基础知识，并能用这些知识解决简单问题．

2．认知水平和能力：七年级学生具有初步的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与意识和合作意识．并能在教师引导下低起点、小步距进行探究．

3．任教学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好地应用所学知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高．

三、【目标分析】

1.教学目标

依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：

①通过在生活情境中从数学角度发现问题、提出问题，让学生理解余角、补角、对顶角的概念．

②通过学生经历探究活动中的动手操作，合作交流，使学生掌握同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，对顶角相等的性质．

③通过对余角、补角性质的探究，渗透从“特殊”到“一般”、类比的数学思想方法；会对文字、图形、符号三种语言进行相互转化．

④通过关于比萨斜塔的新闻轶事引入，让学生感受数学来源于生活，生活中处处有数学，体会学习数学的价值．

2.教学重点及难点

重点：余角、补角、对顶角的定义及性质

难点：余角、补角性质的合情推理和数学语言的规范表达

重、难点解决的方法策略

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根据七年级学生的认知特点，乐于动手操作探究，易于在实践中明确事理，故而本节课采用以实验发现法为主的教学方法.教学中，通过剪裁、度量、旋转等操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，形成生动活泼的、主动的和富有个性的学习活动，从而掌握余角、补角、对顶角的定义及性质，并能运用性质解决简单的问题．

四、【教学模式与教法、学法】

本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法突出活动的安排与问题的引导．

学生的学法突出动手操作、探究发现与归纳建构．

教具：教材，多媒体课件，剪子，纸质直角三角板

学具：三角板，量角器，教材，练习本

五、【过程设计】

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

教学过程：

教

师

活

动

学

生

活

动

①看视频；

②体会生活中的数学知识；

③思考、交流

活 动

说 明

用比萨斜塔“正身”吸引学生，激发兴趣．

一、引入概念

首先播放一段有关著名的比萨斜塔近况的新闻视频，提出问题：

从视频得知，“塔身的倾斜度由原来的5.5变成现在的3.99”，

你知道其中的

- 2 -

5.5和3.99是怎么测量的吗？注意这里的测角仪不能直接伸入塔身．

（学生相互讨论，提出初步测量方案）

（根据学生回答，进一步追问.）

问题一：如果我们使用测角仪测量出了

1的大小，能否得出塔身的倾斜度2呢？

为什么？

问题二：如果想得到塔身与地面所成角

中最大的角3的度数，能行吗？为什么？

从实际生活情境中感知概念，形成概念的初步印象．

二、形成概念

师：在刚才的问题解决过程中，我们用

到了两个角的和分别是90，180，于是

定义：

感知概念

如果两个角的和等于

90°（直角），就

说这两个角互为余角．如果两个角的和等

于

180°（平角），就说这两个角互为补角．

三、辨析概念

师：请一名同学为大家朗读定义，并重

读关键词．

朗读概念，重读关键（辨析概念中的两个关键词“两个角”、“互词．

为”）

动手操作：请同学们用手中的剪刀和纸

质的三角板，通过“剪——移——拼”的过

程，探究直角三角形两锐角之间的关系．

动手操作，合作交流．

（通过学生动手操作，内化余角的定

义，感知余角定义的实质，为学生类比理解

补角定义打下基础．）

对余角定义的辨析：①“两个角”，“互

为”；②是从“数量”关系进行定义；③

x(90x)．

(学生类比完成对补角定义的辨析)

- 3 -

引导学生初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题．

体会数学来源于现实生活，生活中处处有数学，从而体会数学的价值．

通过比萨斜塔视频引入，学生经过抽象概括后，自然形成概念．

注重从文字、图形、符号三种语言对定义进行刻画．

动手操作是概念变式的一个环节．目的是让学生体会概念从“数量”定义，与两角的

“位置”无关．

渗透类比的数学思想方法

小试身手：下列各角哪些互为余角，哪

些互为补角？

完成学生对概

念的自我建构

学生独立完成，老师——辨析之①

② ③ ④

投影展示一名学生的后，进入概念

作业．

的简单应用环

节．

四、应用概念

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

五、探究活动一

以同桌为一组，将手中的三角板△

AOB，△COD的直角顶点O重合在一起.

①观察猜想：如图放置，度量1与2，你

发现了什么？

②操作验证：请甲同学旋转△COD，乙同合作、交流，经历“观学观察1与2的大小变化，①中的结论还察猜想—操作验证—推理论证”的探究过成立吗？

③推理论证：请用所学知识论证你的发现．

程．

证明：1390

2390

19032

（等量代换）

12

学生用文字语言表述

结论．

（请一名学生板书证明过程，教师批注．）

师：你能用一句话归纳刚才的发现吗？

余角的性质

同角（或等角）的余角相等．

小试身手：

CDAB，1．已知△ABC中，

ACB90，

先独立思考，学生在登台讲解、试找出下图中相等的锐角，并说明依据．

“小老师”老师点拨的情况下熟合情推理：

悉、巩固余角的性质．

A与1为

同一个角2的

余角，据余角的

- 4 -

在探究活动一中，学生动手操作（度量、旋转）验证了结论，又通过说理的方法证明了结论，充分体现了实验几何与论证几何的有机结合.

渗透“特殊”到“一般”的数学思想，学生亲历数学建构过程

小试身手的设计为了及时巩固学生对余角性质的掌握，并为后面证明两角相等打下基础．

性质得A1；

B与2为同一个角1的余角，据余角的性质得B2；

（教师协助、点评“小老师”的讲解）

2．

已知DAAB,CBAB,点O是线段AB

DOCO上一点，，试找出图中相等的锐学生运用余角性质合角，并说明依据．

情推理．

合情推理：

12DOC180

1与2互余，

又2与C

1C

学生在教师的引导(同角的余角相等) 下，分析图形的特征，同理1与D

并尝试对图形进行分解与组合、抽象．

2D

(同角的余角相等)

问：刚才的寻找等角过程中，我们用到

了哪些知识？

通过类比，我们得到补角的性质： 类比余角性质完成补同角（或等角）的补角相等．

角性质．

六、探究活动二

使用剪刀时，哪对角的变化大小相同？

请描述这组角的位置特征．

小组讨论，运用文字语言表述1与2的

位置特征．

（学生用文字语言描述对顶角定义具有一

定难度，教师要不断地引导、修正，从而提请一名学生用自己的高学生表述的准确性、规范性．）

文字语言描述对顶角对顶角的定义

定义．

两边互为反向延长线的两个角互为对

顶角．

对顶角的概念辨析：

对顶角是从“位置”体会几何概念定义方式的多样性．

关系进行定义．

对顶角的性质

对顶角相等．

- 5 -

学生通过探究获得余角性质后，设计2个实例应用性质．而“寻找等角”为后面学***行的条件、三角形全等、相似奠定基础．

教师注意了引导学生对文字语言、图形语言和符号语言进行转换，培养学生运用数学语言准确表达的能力．

通过小组合作交流，培养学生用文字语言表述数学问题的能力．

理解概念的本质．对顶角从“位置”关系进行定义．

问：为什么对顶角相等？你能用今天所

学知识进行论证吗？

小试身手：

完成“小试身手”，并1与2是对顶角的是图

下列图形中，说出依据．

（3）

（1） （2） （3） （4）

七、应用拓展

例1

若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数．

解：

设这个角是x°，则它的补角是（ 180-x）°,余角是(90-x)°

根据题意得：

（180-x）= 4 (90-x) 解得：

x =60 答：这个角的度数是60°.

例2

如图，直线AB与CD相交于点O，

E是AOD内一点，

已知OEAB, BOD45，

则COE135．

思路一：

COE是EOD的补角，EOD是DOB的余角．

思路二：

COE90AOC，AOC是DOB的对顶角．

变式 如图，已知直线AB、CD相交与点O，OA平分EOC，EOC70，点F是EOD内一点，

且OFAB，

则FOD55. （“小老师”讲解，教师点评，并归纳）

【习得】

求一个角可以通过转化为求其余角、补角、对顶角来完成

．

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独立思考，集体订正．注意解题格式的规范．

学生独立思考，请代表上讲台讲解自己的思路．

熟悉、内化概念，渗透“化归”的数学思想

学生独立完成，“小老师”上讲台讲解，集体订正．

教师引导下回顾解决例题及变式用到的知识和数学方法，书写自己的习得．

用补角的性质推导出对顶角相等，感悟数学逻辑的严密．

区别对顶角的定义与对顶角的性质．

熟练应用任意角的余角、补角．

例2及变式的设计体现了几何入门阶段，对识图能力、书写格式等基本功的重视，教师在例题的处理过程中，注重了培养学生用分析法来解决几何问题．

注重余角、补角、对顶角的概念在问题解决中的灵活应用．

重视学生的解题反思．

八、总结提升

1．我学到了哪些知识？



余角、补角的定义及性质；



对顶角的定义及性质；



它们定义的方式分别从“数量”与“位置”关系进行；



求解一个角常常转化成它的余角、补角、对顶角来达成．

2．今后我可以采取怎样的方法学习几何概念？

形成概念——辨析概念——应用概念

3.本节课渗透了哪些数学思想方法？

从“特殊”到“一般”、类比、化归

4. 作业布置：

《石室初中能效作业》相应部分（分层：A，B组）

（A层全班同学完成，B层是部分同学完成）

5．挑战自我：

请任意作出一个三角形，在其中添加一条线段构造出互余、互补的角，并写出它们．

本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容．

有利于学生对知识掌握更加系统化，并从感性认识上升到理性认识．

设置开放性的问题，有利于学生创造性思维的培养．

板书设计：

六、【课后反思】

根据教学经历和学生反馈，本堂课教学设计操作性强，效果良好.课堂中学生通过概念辨析教学，对余角、补角、对顶角的概念理解较深入，能辨别三个角和为180°与补角概念之间的区别，能很好识别对顶角．通过探究活动得出性质让学生对性质的掌握更为牢固，如本堂课中应用补角性质对对顶角相等加以证明以及课后作业都说明了这一- 7 -

点．而范例及变式的训练使学生对化归的数学思想方法理解更为深入，逐步形成多种方法解决问题的习惯，并能规范解题．综合以上情况，我对本课的教学设计有如下反思：

（1）突出学生动手操作，合作探究

根据新课程课堂教学活动的基本理念:“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本课教学设计中突出了学生的动手操作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，教学设计中对余角定义的辨析、余角性质的探索、对顶角概念的“再发现”用学生动手操作这条线贯穿起来．每个活动的展开是通过一个个问题串的设置实现的，整堂课创造了一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索，形成了较好的数学学习经验．

（2）注重数学思想的渗透

本课的设计注重渗透了从“特殊”到“一般”、类比和化归的数学思想与方法．课堂中，余角性质与补角性质之间的关系，探究余角性质由有限的度量过渡到任意时刻结论是否成立，拓展应用中角之间的转化都充分体现了这些数学思想方法的渗透．

（3）遵循概念学习规律

本课的设计特别强调学生对概念的学习规律，遵循“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的认知过程，利用视频中蕴藏的数学知识引入概念，形成初步感知，通过学生朗读概念、动手操作内化概念，小试身手应用概念等环节达成对概念的深入理解．

（4）注重学生体验，培养良好习惯

本课注重学生知识的自我建构，在探究过程中使学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”的数学体验过程，形成良好的学习习惯．

（5）目标达成

在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：

敬请各位专家批评指正！

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附1：教案说明

《余角与补角》

教案说明

概述 本教学设计分为六个部分，包括：教材分析，学情分析，目标分析，教学模式与教法、学法，过程分析和教学反思.设计从实际生活情境引入余角、补角概念，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”的数学体验过程得到余角、补角性质；设计中结合本班学生的学习实际情况，从而确定了教学活动的关键点.以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计.下面从如下几个方面进行详细说明. 一、本节教学内容的数学本质与目标定位

本节课教学内容为“三个定义”、“三个性质”，即余角、补角、对顶角的定义及性质. 1．揭示了概念学习遵循的规律

本节内容中三个概念是学生学习的重点，概念学习须遵循学生对概念的认知规律，即“感知概念——内化概念——巩固概念——应用概念”，为此本教学设计通过“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学环节设计达成学生对概念的理解、掌握. 2．展示了几何概念的两种定义方式

本节内容中从“数量”关系定义余角、补角，从“位置”关系定义对顶角，展示了几何概念的两种定义方式与角度，使学生对几何概念的认识在深度和广度上得以拓展，为后续学习概念积累了经验. 3、渗透了数学思想方法 在整个教学过程中渗透了从“特殊”到“一般”、类比、化归的数学思想方法，使学生进一步体会数学几何学习的精髓和本质. 4、体验了数学理性精神 通过让学生经历动手操作、合作交流的探究活动达成对余角、补角性质的获得，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”数学体验过程，发展性质探究中需要的观察、分析、归纳、概括、能力，经历数学理性精神的体验. 二、教材地位及作用

本节内容是学生在学习了“角、直角、平角”，“比较角的大小”等知识的基础上，对角与角之间的关系作进一步深入和拓展.它为今后证明两角相等提供了一种重要依据和方法，对今后学习探索两直线平行的条件，三角形全等、相似都起着铺垫性作用.此外，余角、补角、对顶角的概念在物理学上对求解入射角、反射角、折射角有着一定的帮助. - 9 -

教材中只给出了余角、补角及对顶角的性质，并没有要求对他们进行说理、论证，由于我校的学生在七年级（上）的学习时，已经接触了简单的说理，因此在这里，我引导学生使用符号语言结合图形，对性质进行了说理，同时在对三个性质进行说理的过程中，教师都给出了规范的说理过程，这样既符合学生的实际学习情况，又为后面学习证明（一）（二）（三）打下基础. 三、教学过程诊断分析

七年级学生初步具备了一定的观察、分析、归纳概括的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化仍有一定困难，尤其是规范使用三种语言的能力还相当欠缺. 1．学生在明确了余角、补角定义以后，通过探究获得“同角（等角）的余角相等”这一性质，但有不少同学在解题中，愿意用“等量代换”，而不习惯使用余角、补角性质.因此，教师通过“小试身手”不断引导学生尝试使用新学的性质. 2．学生在观察剪刀使用过程中始终相等的两角时，很难用准确的语言概括其位置特征.这时，教师引导学生用角的要素去描述，即从角的两边和顶点进行刻画，不断修正、调整他们的表述最终获得对顶角的准确定义. 3．通过鼓励学生证明对顶角相等，及时检验了他们对余角、补角性质的掌握情况. 四、教学实施预期分析

本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用“动手操作”、“问题驱动”的教学方式．

1．实现了预期教学目标

为突出重点，充分展现“三个概念，三个性质”的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程：从“比萨斜塔”引入概念，用其人文美与艺术美抓住学生的注意力，再适时抛出数学问题，学生自然而然地参与其中.为了突出概念的学习，教学中设计了“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的概念学习环节，让知识真正内化为学生自己的知识，并领会概念学习的方法，为今后学习其他概念所用. 2．实现了因材施教的目的

一方面通过完整概念学习过程、性质探究过程，为学生学习概念、性质起到了很好的示范作用.并在探究活动中要求学生合情说理、书写证明过程，规范了学生的几何书写.通过习题的梯度设置，及时反馈和诊断了不同学生掌握知识的情况，通过一题多解，拓展了学生的思维，提升了学生的学习能力.另一方面我根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，加强课堂巡视，及时给予帮助、肯定及评价.通过设计课堂中的合作交流、课后的分层作业，尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都获得了较好的发展.

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附2：教材

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