习题3.1名师教学设计

“函数的零点”复习课

教学设计

1 四川省彭州市第一中学

彭阳

目录

“函数的零点—复习课”教学设计

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高中数学教学课例——函数的零点

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课例点评——函数的零点

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“函数的零点—复习课”教学设计

四川省彭州市第一中学 彭 阳

一、教学内容分析

本节课选自人教A版必修1第三章《函数的应用》第一节内容“函数与方程”的一个重要考点。本节主要解决函数零点的三种问题，实质将函数零点、方程的根、函数图象三者之间有机的结合的应用，渗透了“数形结合”，“转化与化归”等重要思想。

教学重点：利用函数的零点、方程的根、函数图象与X轴的交点三者之间的关系解决零点的三类问题；

教学难点：利用参变分离求解含参的零点问题。

二、

目标和目标分析

（1）巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

（2）经历“探究——归纳——应用”的过程，让学生进一步掌握函数与方程的思想和数形结合思想，培养学生分析问题探究问题的能力。

（3）培养学生独立思考，自主探究，合作交流的能力。在解决问题的过程当中给他们带来了成功的体验。

三、教学问题诊断分析：学生已有的经验：高三的学生已经对前面函数的知识进行了复习，对分段函数和指数、对数以及含绝对值得函数图像有了较为深刻的认识。

不足之处是学生化归与转化，归纳小结，规范书写的能力。

可能会出现的困难在例2和例3讨论不全或者找不到突破口。

可能会出现的误区是：一是函数零点存在性定理应用没有考虑单调性；二是例3学生可能会利用分离参数法，画超级函数的图像（高中不作要求），会用到极限的思想

四、教学方法：师生互动、讲练结合

教学理念：以一轮复习为抓手、让学生把各个相关的知识点有机地联系起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

1

教学设备：多媒体、白板、投影仪、几何画板。

五、高考动向考纲分析：

函数零点问题包含三个方面：

①求函数零点的区间；②求函数零点的个数；③求解含参的零点问题

本节课重点突出用数形结合法解决后面两个问题。

六、教学过程设计

教学程序设计框图

典型例题

课后作业

教学环节及设计意图：

（一）知识梳理

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

本节课复习知识点的巩固及补充

课堂小结

对本节课内容做回馈和总结

对基础训练的补充，重点讲解含参问题的求解办法

基础训练

相对知识的简单练习

知识梳理

罗列基本知识点，以填空题形式出现，学生课前准备

（2）函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

2

（3）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程的根。

注意：函数零点的性质

①从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

②从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

（二）基础训练、

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(

) (2)若函数f(x)在(a，b)上连续且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(

) 问题1：这几个结论是否正确，如果错误又错在哪里？并改正。

2、已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 . [设计意图：通过提问，学生巩固所复习的函数的概念。同时为解决后面的例题提供基础理论支撑。] （三）例题解析、

x－2，x≤0，【例1】函数f(x)＝的零点个数是________. 2x－6＋ln x，x>0[设计意图：通过引导学生分析分段函数的零点问题，归纳出求函数零点的方法。] 解析

(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍).所以在(－∞，0]上有一个零点.当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是12x增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. [训练1]

函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

)

A.1 B.2 3

C.3

D.4

[设计意图：引导学生分析完例1的基础上总结出因总结利用已知归纳出的求函数的零点的方法，让学生及时运用，乘热打铁，让学生将知识掌握扎实。] [规律方法]

判断函数零点个数的方法：

(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．

(2) 数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

(3) 零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

[设计意图：让学生在成功处理问题之后，进一步归纳小结，提炼方法，同时也提高学生归纳小结的能力。] 【例2】已知函数f(x)＝x3－3x2＋a，若f(x)存在唯一的零点求a的取值范围．

[设计意图：本题是一个较为简单的含参的零点问题，既可以用导数法，又可以用分离参数法解决。] 问题2：a的值对这个函数的单调性会产生什么样的影响？

【例3】（2014年全国卷理科11题改编）已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点求a的取值范围．

[设计意图：通过老师提示这道题要突破两点：一点是过定点，二是分类讨论。让学生通过小组活动和代表讲评，加强对含参的零点问题的处理，同时，培养了学生团结合作，相互学习的精神.最后通过几何画板的展示辅助配合突破本节课的难点] 【变式训练一】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在两个零点，则a的值是________．

【变式训练二】将例3中的条件“f(x)存在唯一的零点”改为

“f(x)存在三个零点”，其它条件不变，a的取值范围又是多少？

【思考】将例3中的条件“f(x)＝ax3－3x2＋1”改为“f(x)＝x3－ax2＋1”，其它条件不变，a的取值范围又是多少？

[设计意图：两个变式训练和思考题是对例2和例3的方法的巩固，同时深化含参零点问题的方法，做到了活学活用。] [规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法

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(1)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

[设计意图：让学生在成功处理问题之后，进一步归纳小结，提炼方法，同时也提高学生归纳小结的能力。] （四）课时小结：

问题3：今天我们学到了什么？（最后有请我们的班长来总结）

以学生小结为主，教师做适当地补充，主要说明四个问题：

1、函数零点的概念、意义、零点存在性定理。

2、判断函数零点个数的常用方法

3、函数有零点求参数取值范围常用的方法

4、数形结合在函数零点问题中的应用

[设计意图：

首先学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质.适时地和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用. ] （五）课后作业：

基础巩固学案课后作业1-4题

能力发展学案课后作业5-11题

拓展延伸自己收集整理复习资料中有关函数零点的问题，收集近三年函数零点的高考题，并归纳总结函数零点的解题规律。

（六）板书设计

函数的零点

（二）知识梳理 例1（略）见多媒体

1、

零点的概念 例2（略）见多媒体

2、零点的意义 例3（略）见多媒体

3、零点存在性定理 （四）课时小结（略）

（三）基础训练

（四）例题分析 （五）

判断函数零点个数的方法：

①解方程

②数形结合法

③零点存在性定理（单调性）

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（七）课后巩固练习

1、(教材改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是(

) A．0 B．1

C．2

D．3 2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 3、函数f(x)＝sin x－x2的零点个数是(

) A．1 B．2

C．3

D．4 4、函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(

) A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0) 5、函数f(x)ex1的零点个数为 . xx，1]上存在一个零点，则a的取值范围6、函数f(x)3ax2a1在[1是 . 7、若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ．

8、已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(

) 1A. 421B. 87 C.－ 83D.－

8π9、函数f(x)＝4coscos－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______．

220，x≤0，10、已知函数f(x)＝x则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数me，x>0，的取值范围是(

) A.[0，1) B.(－∞，1) C.(－∞，1]∪(2，＋∞) D.(－∞，0]∪(1，＋∞)

11、已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，

求实数a的取值范围.

x[设计意图：巩固所学新知，体现探究成果的应用，渗透数形结合思想，做到学有所用. ]

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（八）、教学反思：本节课为高三一轮复习课，围绕教学目标采用“问题—分析—总结”的教学模式，体现师生互动，生生互动，通过展示近四年高考中出现的零点题型，提出零点问题包含三个方面的问题，通过引导学生分析问题，提炼出解决问题的方法，同时运用了信息技术手段，并运用几何画板给了学生直观的感受，加深对问题的理解，提高了课堂效率，有效达成了教学目标。注重学生在课堂的主导地位。在课堂进行中，不断调动学生的积极性，充分利用学生当堂产生的教学契机，鼓励学生发表自己的意见看法，鼓励学生在白板上用数学的形式表达自己的思想，鼓励学生采用不同的途径获得自己需要的数学知识。不足之处是在课堂上应该多积极倾听学生的声音，相信学生的能力，注意普通话的准确和语言的精炼。

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高中数学教学课例——函数的零点

四川省彭州市第一中学 彭 阳

老师：今天我们来复习函数的零点，近几年来函数的零点一直是高考的一个热点话题。（开门见山，

直接导入主题）

老师：下面我向大家展示近四年有关函数零点的高考题。（依次是2014年，2015年，2016年，2017年）

老师：高考解题能力的培养首先要熟练掌握基础知识，然后灵活运用，最后还要进行方法总结，同时还要注意解题过程中数学思想的运用和书写规范。

老师：下面我们来进行知识梳理。

（学生迅速完成基础知识填空，老师板书基础知识要点，学生齐声回答，老师强调从“数”的角度和“形”的角度对零点的认识）

老师：为了巩固刚才复习的基础知识，下面我们来做两个基础训练。

第一个判断题学生齐声回答：错误。

老师：为什么错误？

学生齐声回答：零点不是点，而是一个数。（表扬学生掌握准确）

老师：第二个结论是否正确，如果错误又错在哪里？（学生沉默了）下面有请英语科代表来判断。

A学生（英语科代表）：这个结论是错误的。我认为应该在“连续”的后面加一个“单调递增”。

老师：如果在连续后面加“”单调递减“”行不行？

学生（英语科代表）：好像可以。（最后老师在白板上板书分别画出递增和递减只有一个零点的图像）

第三个判断题大家齐声回答正确。

老师：第二个题先是有请B同学回答，学生告知她生病请假了。然后请了C同学起来回答。

C同学：答案为0。由于偶函数图像关于y轴对称，所以函数的对称零点两个之和为0. 老师：接下来我们来看例1，这是一个分段函数求零点个数的题。先思考2分钟。

2分钟后………

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老师：下面有请C同学来分析

D同学：答案是2个，当x≤0时，作图可以得出有1个零点，当x>0时利用求导的方法可以得出有1个零点，总共有两个。

老师：能不能具体一点，求导的目的是什么，再结合我们刚才复习基础知识中的一个最重要的定理。

D同学：通过求导可以判断该函数是增函数，又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以利用我们复习的零点存在性定理可以判断f(x)在(0，＋∞)上有一个零点。

老师：我们最开始接触函数零点时是怎样判断函数的零点个数？

E同学：解方程。

老师：回答的非常好，所以x≤0时我们可以直接解方程更简单。x>0还有没有其它方法判断零点的个数？

老师开始在白板上板书判断零点个数的方法(1)解方程法和(2)零点存在性定理法。

F同学：拆分成两个函数判断它们交点的个数就是零点的个数。

老师：思路非常清晰。再次板书第三种方法：(3)拆分法（数形结合法）

老师：请看训练1，这是一个含有绝对值函数的零点的问题。请同学们思考用什么方法来处理这个问题。

接下来请一位F同学到白板上解答演示。（大概2分半钟时间）

1x学生先令f(x)＝2|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝.2x1x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别2画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)。由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点。

老师点评：先表扬学生思路非常清晰，同时指出学生的不足（关于书写）。（这也是对刚才总结方法的巩固与应用，让学生将知识掌握扎实。）

老师：接下来请一位同学总结求函数零点个数的方法。

G学生:求函数零点个数的方法有：①

解方程；②零点存在性定理。还有第③种分成两个函数求交点。

老师：这里我强调函数零点存在性定理需要先判断函数的单调性。

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老师：接下来我们来看例2，这是一个含参的零点问题。同时提示大家：要使函数只有一个零点，也就是说只有一个交点。同学们给6分钟时间独立思考。

这时候同学们争分夺秒的做题，老师走下讲台巡视教室，观察学生做题的情况。差不多快到5分钟时间，老师发现一个同学完成了，但是考虑不全，而且书写极不规范。我没有直接表明态度对还是错。

老师：数学科代表在哪里？（一下子站起来3个,。2个女生一个男生。）请男生数学科代表上来仔细看一下，对还是不对？不对请帮忙改正一下。科代表上来发现不完整，立刻现场帮忙改正。

老师：这下就非常完整，高考解题能力的培养还包括书写规范，这为同学以后答题时注意规范书写。还有没有其它解法？

学生F：令f(x)=0得a=-

x3＋3x2,把它们分别看成两个函数，g(x) =-

x3＋3x2, h(x) =a, f(x)存在唯一的零点即y=g(x)与y= h(x),在一个图中分别作出它们的图像，要使函数只有一个零点只需它们只有一个交点，对y= h(x)进行上下平移可得a的取值范围,04,。

老师：回答非常漂亮，思路非常清晰。通过这里我们可以总结出求含参的零点问题有两种，一种是导数法，一种是分离变量。接下来用几何画板向大家展示两种方法的中图象随a的变化过程。

老师：我们来看例3.这是 2014年全国卷理科11题改编的解答题。

经过同学们一分钟读题之后…….. 老师：要解决这道题，先要找到突破口，本道题突破口有两个。一是过什么点？

学生集体回答：过定点（0,1）. 老师：非常好。另外一个突破口是三次项系数为a，我们要怎么？

学生集体回答：分类讨论。

老师：现在请同学们以小组为单位开始讨论，给大家8分钟时间。讨论之后到讲台上进行展示并讲解。

同学们迅速站了起来，开始以小组为单位开始讨论，场面非常热烈。老师开始巡视观察同学们讨论的情况。经过8分钟左右。

老师：时间到了。接下来我们开始展示。

第四小组的数学科代表主动上来用投影仪展示并讲解。

H学生（数学科代表）：先我用分离变量法求发现另一函数是超级函数，画不出

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图象。所以我选择另一种方法:导数法。先对a进行分类讨论，当a＝0时，不符合题意，所以a≠0时，对函数求导f′(x)＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝02842或x＝.若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，f0即a×3－3×2＋1>0，aaaa化简得a2>4.又a0，所以a2则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有8422f0即a×3－3×2＋1>0，化简得a>4.又a<0，所以a<－2.所以a的取值aaa范围是,22,

老师：我们这位数学科代表讲的非常好，大家来一点掌声。（教室里顿时响起了热烈的掌声）

接下来用几何画板向大家展示两种方法的中图象随a的变化过程。

老师：由于时间关系两个变式练习和思考题作为下来的巩固训练。

我们请一位同学总结求解含参函数零点的方法。

J学生: ①数形结合法; ②分离参数法. 老师：总结得非常好。今天我们学到了什么？最后有请我们的班长来总结

K学生（班长）:今天我们学习了第一个函数零点的概念、意义、零点存在性定理；第二个是判断函数零点个数的常用方法（老师帮助提示），第三个是求含参的零点取值范围常用的方法。

老师：最后我们这一节课始终贯穿一种思想：

学生齐声回答：“数形结合”，所以第四点是“数形结合”在函数零点问题中的应用。感谢班长精彩的讲解。（教室里又一次响起了热烈的掌声）。

老师：说白了函数的问题最终还是要回归到函数图象，利用图象解决问题。

感谢同学们精彩的配合，下课。

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课例点评——函数的零点

四川省彭州市第一中学 李道进

《函数的零点》是解释函数与方程的联系，用函数的观点来研究方程，将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有更深层次的理解。

本节内容以函数图象为主要载体，通过本节课的学习研究，使学生从“数”“形”两个层面理解函数零点的概念，突出“数形结合”的数学思想。本节课的教学设计和实施教学体现以下几个方面的特点：

一、紧扣一轮复习和高考考纲，围绕教学目标采用“问题—分析—总结”的教学模式，体现师生互动，生生互动，通过展示近四年高考中出现的零点题型，提出零点问题包含三个方面的问题，通过引导学生分析问题，提炼出解决问题的方法，同时运用了信息技术手段，并运用几何画板给了学生直观的感受，加深对问题的理解，提高了课堂效率，有效达成了教学目标。

二、注重知识线与思想方法线的齐头并进。在知识内容的教学中，注重数学思想和数学方法的渗透，引导学生对函数与方程的内在联系的融会贯通，引导学生积极使用数形结合思想解决问题。

三、注重学生在课堂的主导地位。在课堂进行中，不断调动学生的积极性，充分利用学生当堂产生的教学契机，使课堂活起来，鼓励学生发表自己的意见看法，鼓励学生在白板上用数学的形式表达自己的思想，鼓励学生采用不同的途径获得自己需要的数学知识。

四、注重严谨的数学思想和通俗的数学语言有机结合。为了使死板的数学课堂生动起来，在教学中注重课堂教学语言的选择，既不失数学的严谨性，又能让学生易于理解。

五、注重学生交流能力和表达能力的培养。在教学中不断提供给学生相互讨论交流的机会和表达自己观点的机会，并积极聆听解答学生的回答与提问，对学生提升自我能力提供平台。

六、不足之处：课堂上应该多积极倾听学生的声音，相信学生的能力，普通话需要练习。

总之，这节课比较准确地把握学生的实际情况，数学的本质属性和数学教学的内在联系，理解准确，思路流畅，问题引领，关注过程，注重思维，是一节效率较高的课堂。

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说课教师彭阳简介

彭阳，男，2005年7月毕业于宜宾学院，同年8月到彭州一中参加工作。2005年9月到甘孜州支教一年，2006年回彭州一中工作至今。在支教的过程中，由于各方面的表现优异，先后在2006年5月被评为《四川省名族地区教育发展十年行动计划》教育对口支援个人先进；2006年12月被评为成都市教育局对口支援甘孜州民族地区先进个人。2012年、2013年、2014年都被评为为彭州市骨干教师。所带班级2012级16班在2015年高考中，超责任完成高考目标，被彭州市评为高考先进个人。新的一届2015级12班由于班级管理出色，各方面表现优秀，在2016年五四青年节中被评为彭州市优秀班级体。2016年6月在彭州市各类先进评比中被评为彭州市优秀班主任，17年被评为彭州市骨干教师。这次高三优质数学课竞赛获得彭州市一等奖第一名。

我想对自己说的话：不是每个人都是红花，即使是绿叶，我要成为最鲜艳最漂亮的绿叶！

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