信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教案1

方程的根与函数的零点教学设计

瓜州县第一中学

石金岩

一、

教材分析

本节课为《普通高中课程标准实验教科书.数学（1）（必修A版）》第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点。

函数与方程是中学数学最重要最基础的内容，一方面它是初等数学和高等数学的连接纽带，在数学理论构建与实践应用中均起着关键的作用；另一方面，函数与方程部分充分体现了数学思想方法与思维方法，因此，函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

就本章来说，本节课首先通过对二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点联系，然后由特殊到一般的思维方法，将它推广到一般方程根与相应函数零点的关系，它既以高中数学知识为起点揭示了初中一元二次方程与一元二次函数的内在关系，又拓宽了函数的系统知识，展现了函数与方程的统一与联系，接下来在本节课第二课时“3.1.2用二分法求方程的近似解”中又将该关系加以应用，在本章第二节3.2函数模型及其应用中又一次展示了该关系在信息技术及实际问题的广泛应用，这样就逐步建立起函数与方程的内在联系。

本节课渗透着方程与函数、数形结合转化与化归等重要

数学思想与方法，同时也直接应用了由特殊到一般的数学思维方法，因此本节课可以为学好数学打下坚实的知识与能力基础，也对培养学生良好的数学思维习惯至关重要。

二、

学情分析

学生来自于县镇初级中学，50%是农村学生，接触面不广，学生的数学基础呈现中等程度学生多数，程度较高与很低者占少数，因此采用低起点、快节奏、中密度展开教学比较合理。

从知识心理能力方面的储备来讲，学生已经学习了函数的图像和性质，掌握了一、二次函数的图像，会利用函数图像理解函数性质，再加上二次函数方程是初中数学的重点，对二次方程根的存在性及个数问题，学生应该是熟知的。因此以二次函数的图像入手介绍相应函数的零点，从认知心理与规律上来讲，学生应该是容易理解的，也就是说，从特殊的二次方程与二次函数而言，学生容易理解函数零点与方程根的关系。

但是学生对于一、二次函数以外的其它函数的图像与性质认识不深，缺乏一些一般函数的实例，所以让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，进而理解一般函数的零点与其对应方程根的联系应该是学生学习的难点，也是本节课教学的知识生长点和能力发展点。在教学中要加强师生互动，尽可能给学生机会，让学生充分研讨不同类型的二次

函数零点与相应二次方程根的联系，深刻体验二者的联系，从而直观地归纳总结出一般函数与方程条件二者的联系。

三、

设计思想

教学理念：从联系实际和问题引导两个角度激发学生学习兴趣，从数学思维与思想方法的渗透角度培养学生思考问题的能力，从实践探索直观形象方面让学生享受数学美。

教学原则：采用因材施教的原则注重不同层次的学生，利用从具体到抽象的认知原则，引领学生的数学思维活动。

教学方法：启发式教学法、归纳总结法

四、

教学目标

知识目标：以二次函数的图像与相应二次方程的关系为突破口探索方程的根与函数的零点的关系，掌握某区间上连续函数存在零点的判定方法。

能力目标：体验由特殊到一般归纳发现问题结论的思维活动，体会数形结合的数学思想方法，培养学生辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

情感价值观目标：培养学生由已知探求未知的兴趣，科学的探索精神，感受数形结合的数学美。

五、

教学重点难点

重点：函数零点与方程根之间的内在联系，连续函数在

某区间上存在零点的判定方法。

难点：归纳发现一般函数的零点与相应方程的根的关系；探究发现函数一般连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

六、教学程序

1、方程的根与函数的零点以及函数零点存在性的探索过程

1.1、方程的根与函数的零点

问题1：（1）解方程4x-1=0

x2-x-6=0

(2)大家会解方程

lnx+2x-6=0 吗？

设计意图：构思问题环境，产生问题，引出课题

第（2）题学生不会解答，产生疑惑，引入课题：

（教师引言）：我们已经掌握了一次二次方程的解法，其实高次方程和其它更一般方程的解法，一直是中外数学家研究的课题，早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，我们作为中国人应该引以自豪。这节课，我们就从二次方程与二次函数关系入手，探讨一般方程的根与函数的关系。

问题2：观察几个具体的一元二次方程的根及其相应二次函数的图像。

①方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3 ②方程x2-2x+1=0与函数y= x2-2x+1

③方程x2-2x+3=0与函数y= x2-2x+3

设计意图：由二次函数与二次方程关系归纳函数零点与方程根的内在联系。

教师引导学生总结规律：

1、以上一元二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。

2、方程的△＞0，函数与x轴有2个交点。

方程的△=0，函数与x轴有1个交点。

方程的△＜0，函数与x轴有没有交点。

定义1、对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y= f(x)零点（zeropoint）。

从而得出：

结论1：函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是y= f(x)的图像与x轴的交点横坐标。

结论2：①方程f(x)=0有实根

等价于

②函数y= f(x)有零点

还等价于

③函数y= f(x)的图像与x轴有交点

辨析：函数y= f(x)的零点是“点”吗？

讨论：答案是否定的。

1-2函数零点存在性判定方法

问题3：观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像，回答以下两个问题。（使用问题2中图1-1）

⑴f(-2)与f(-1)的符号有何关系，乘积有何特点？

y= f(x)在[-2.1]上是否有零点？

⑵在区间[2.4]上是否有上述特点呢？

设计意图：由二次函数图像归纳函数在区间[a.b]上存在零点的条件（注：以后会学习这是充分条件）。

在教师引导下学生归纳出如下特点：

f(-2) ．f(1)＜0，函数f(x)在[-2.1]内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的根，同样f(2)．f(4) ＜0，函数f(x)在[2.4]内有零点x=3，它是x2-2x-3=0的另一个根。

结论3、如果函y= f(x)在区间[a

b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么y= f(x)在区间[a

b]内有零点，即存在c∈(a.b)，使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根。

2、应用实践深化理解

问题4（教材例1）

求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。

（或确定方程lnx+2x-6根的个数）。

设计意图：⑴通过一般函数零点个数与方程根个数的讨论，进一步深刻理解方程根与相应函数零点的内在联系。

⑵深化结论:一个关于零点唯一性的判定方法。

在教师引领下学生完成以下工作：

⑴借助计算器，作出y= f(x)的图像草图。

⑵指出y= f(x)的定义域，并用定义证明f(x)在定义域内单调增，（x1＜x2比较f (x1)－f(x2)与0的关系，回顾lnx的符号规律。

（3）判断y= f(x)的零点个数

在教师引导下归纳结论。

结论4：函数f(x)在区间[a.b]上单调，并且f（a）.f（b）＜0，那么y= f(x)在区间[a

b]有零点且唯一。

3、练习巩固（根据学生掌握情况适当调整）

练习1、分别在四个小组个找一个同学以x2-2x-3=0为例，表述结论1-4.

练习2、利用函数的图像，指出下列函数零点所在的大致区间。

⑴ y=x－2x－x+2 ⑵ y=e－4x 4、课堂小结：

利用多媒体回顾总结，结论1-4的来源过程及结论实质。

5、课后反馈

⑴找出下列函数零点的大致区间

f(x)=2x－lnx（x－2）－3

⑵给出方程x. e－3=0的一个解大约范围

以上3-5设计意图：巩固本节新知识，加深理解，为下一节二分法求近似解做适当准备。

2x32x

七、教学反思

1、本教学设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，首先利用熟悉的二次函数图像为入口，提出零点概念，再归纳出零点存在性的判定方法，然后用一个一般函数为例在应用已知结论的过程中进一步深化结论得到判断零点唯一性的方法；最后通过课堂练习与总结深化知识理解，为后续教学铺平道路。

2、教学中贯串了归纳思维与数形结合思想，既能提高教学时效性，又可以培养学生良好的思维习惯。

3、充分发挥学生作图与观察能力，适当应用计算机技术、多媒体技术，可以使学生对数学更有兴趣，对现代技术有所了解。

4、本节是理解函数与方程的初步，切忌面面俱到，延展太深。

5、本部分以及后面二分法求方程近似解的教学应加大对信息技术的运用，提高学生数据处理、函数作图的基本能力。