习题3.1教学设计内容推荐

一元二次方程根的分布

成都三十八中学，蒋家卫

一、教学内容分析

本节的内容是基于高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。本节教学内容研究含参一元二次方程根的分布区间与参数的取值特点的关系，既要利用根与系数的关系解决问题（已讲）,又要利用函数图像的方法来尝试解决一元二次方程根的分布，让学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高学生解决的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。考纲、大纲是这样描述的：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。因此，在高中数学的模块中，这一部分内容就显得格外的举足轻重了。

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

二、学生学习情况分析

学生的认知结构中已经有了二次函数的图像及其确定、二次函数与一元二次方程的关系。

且能够运用所学知识解决一些简单的一元二次方程根的分布，比如“零分布”的根的分布的处理方法————判别式结合韦达定理。学生已经掌握。但通过数形结合思想解决这类问题能力有一定的提高，学生在这块儿内容上还有很大的不足，觉得做过的题杂而乱，处理此类问题的时候总是忘记判别式或是对称轴，所以很有必要对此类题在数形结合上做出归纳总结。

三、设计思想

整个课堂只有一道题及其若干变式，意在强调数学的内在本质，并注意适度形式化；倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、

教学目标

1.掌握一元二次方程根分布问题的常规处理。

2.体会在解决一元二次方程根分布问题过程中的数形结合思想，训练学生的数形结合能力。

3.培养学生观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想，同时让学生体会数学数与形的统一美。

五、教学重难点

重点：一元二次方程根的分布常见题型。

难点：二次函数图像在解决一元二次方程根的分布的应用，以及处理一元二次方程根的分布的方法的总结归纳

六．教学情境设计

（一）复习引入，直入主题

当m取什么实数时，方程x2+（m-3)x+m=0分别有：

（1）

两个正根

（2）有两个负根

（3）一个正根一个负根

[设计意图] 复习旧知，韦达定理是解决根的正负问题的常用方法，并不是所有的根的分布都能用韦达定理，借此，引出新授，我们需要寻求一种新的方法．

（二）师生探究,构建新知

问题1：当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0的两个根都小于1.

[设计意图] 整节课的内容就只有这一道例题，从它出发进行变形讲解，这样计算

量小一些，更方便学生归纳总结，更能理解数学的本质。

变式1：当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0的两个根都大于 .

1

2变式2：

当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0的一个根大于1，一个根小于1.

变式3：

当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0两个根都在（0 ， 2）内.

变式4：

当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0两个根有且仅有一个在（0 ， 2）内.

[设计意图]希望通过问题1和这四个变式能引导学生归纳总结出处理根的分布问题的常见方法，在总结这个方法的时候绝大多数老师们都会按“零分布”“非零分布”以及“区间分布”来总结，以前，我也是这么给学生总结的，但学生做作业的时候我发现学生们的思维是不清晰的，不知道什么时候用来刻画的不等式多，什么时候少，所以老是忘记判别式，对称轴，有的时候又会多了判别式，徒增运算量，查阅许多参考书，几乎所有的参考书也是这么分类的，包括上周七中网校老师夏老师在讲这部分的时候也是这么分类的。我想要寻找一种更好理解或者说更好记忆的分类方法，其实这个问题困惑了我很久，一直没有得到解决，一

次学生问题时，偶然的机会，我发现原来可以用图像来进行分类，这样的话只有两类，而且结合图像，似乎更好记忆一些，于是我想尝试一下，我的意图是希望学生通过图对此类问题进行总结，对此类问题的处理办法更加清晰、明了。当然，教学效果还在观察中。

课堂练习：小试牛刀 1.

当m=？时，方程x2+（m-3)x+m=0一个根在（-2 ，0）内，另一个根在

（1 ， 3）内

22. 当m取什么实数时，方程x+（m-3)x+m=0分别有：

（1）

两个正根

（2）有两个负根

（3）一个正根一个负根

3.若x2+（m-3)x+m=0一个根在（-2 ，0）内，另一个根在（0 ， 4）内，求m的范围

[设计意图] 过手练习，强化学生理解、运用。

备选题：

1．若方程mx2-x-1=0在区间（0,1）区间上恰有一解，则实数m的取值范围__________.

2．若x2+（m-3)x+m=0 有

一个正根，一个负根且正根绝对值较大，

求m的范围________.

3. 若方程4x(m3)2xm0有两个不相同的实根，

则实数m的取值范围是

（三）课堂小结，回顾反思

小结：这节课你收获了什么？同学们畅所欲言……

__________________________________________________

[设计意图]改变以往老师包办的形式，让学生来总结收获。老师可适当引导。

（四）作业

活页P47和蓝皮P77与P78 例2及例3 （五）板书设计（略）

教学反思：这节课我希望通过问题1和这四个变式能引导学生归纳总结出处理根的分布问题的常见方法，在总结这个方法的时候绝大多数老师们都会按“零分布”“非零分布”以及“区间分布”来总结，以前，我也是这么给学生总结的，但学生做作业的时候我发现学生们的思维是不清晰的，不知道什么时候用来刻画的不等式多，什么时候少，所以老是忘记判别式，对称轴，有的时候又会多了判别式，徒增运算量，查阅许多参考书，几乎所有的参考书也是这么分类的，包括上周七中网校老师夏老师在讲这部分的时候也是这么分类的。我想要寻找一种更好理解或者说更好记忆的分类方法，其实这个问题困惑了我很久，一直没有得到解决，一次学生问题时，偶然的机会，我发现原来可以用图像来进行分类，这样的话只有两类，而且结合图像，似乎更好记忆一些，于是我想尝试一下，我的意图是希望学生通过图对此类问题进行总结，对此类问题的处理办法更加清晰、明了。课后，学生的作业里基本能够根据题意列举出所需要的不等式，说明用这种方法来归类，教学效果是显而易见的，因为，我实践的班级只是一个普通班，数学基础较差，而一元二次方程根的分布有比较难，虽说是初中的内容，但初中对此要求较低，考得也比较简单，所以，一般情况下初中老师不会讲这么难的。所以教学效果来讲，我是比较满意的，但唯一不足的是，学生能够列出所需要的不等式，但是学生计算能力较差，，很多人会算错，在计算能力方面还要继续培养。