习题1.2教案1

任意角的三角函数教学设计

鲁史中学 李冬梅 一、教学内容解析

本节课是必修4第一章《三角函数》第1.2节的内容，三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在锐角三角函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的推广. 引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义借助平面直角坐标系后，侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射. 本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——在单位圆下的定义法和一般的定义（推广定义）.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程. 二、教学目标

知识与技能：理解任意角三角函数的一般定义和单位圆下的定义，并会运用定义求解对应练习。

过程与方法：经历任意角的三角函数的定义，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用,分类讨论的数学思想. 情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点:

任意角三角函数的两种定义. 难点：任意角三角函数概念的建构过程. 三、教学流程

(一)1、创设情境、引出主题

PPT图片展示一年春夏秋冬四季轮回，月像的周期变化现象，一天的昼夜更替，和一天二十四小时的周期现象。

师：在我们的生活中存在着很多的周期现象，而我们今天就要来学习一种新的函数来描述这种周期现象，这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.

设计意图

让学生从实际经验出发，以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点.让学生体会本节课的重要意义，同时产生浓厚的兴趣。

2、复习巩固，导入新课

（1）在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

2sin?3(2)你能用锐角三角函数的定义计算

师：显然，2已经超出了锐角的范围，锐角被推广到了任意角，已不能找到对边，邻边与斜边了，无法3借助边的关系来计算，所以我们需要借助更具一般性的东西重新扩充定义三角函数。

设计意图

为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，对任意角概念的理解是

1

学习本节课的基础.让学生感受到接下来学习新知识的必要性.

（二）诱思探究，讲授新课

探究一：任意角三角函数的一般定义

问题1：我们探究任意角时借助了什么数学工具？

生：平面直角坐标系

问题2：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？

师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r做圆，与角的终边交于点P，假设点P坐标为(x,y)，利用初中对锐角三角函数定义，sin=|MP|，|MP|即y，即r.

|OP|P(x,y)|OP|=ry得到，sin=y. rsinα=yrxrxαOcosα=师：三角函数只有这一个吗？|OP|

生：还有余弦，正切. 师：你能仿照正弦利用坐标给出它们的类似定义吗？

生：costanα=yxxy，tan

rx师：这样就将边的关系转变为坐标的关系，更具有一般性。

问题3：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？

生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的. 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？

生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点P就唯一确定，比值随之唯一确定.

概念生成：

任意角的三角函数的一般定义（推广）：设角 是一个任意角，p(x,y) 是终边上的任意一点（异于原点），点 p 与原点的距离rx2y20

sin那么：的正弦，即：yxy;的余弦，即：cos;的正切，即：(x0)

rrx设计意图

让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.，让学生感受将边的关系转变为坐标的关系的过程。

探究二：任意角的三角函数在单位圆下的定义

问题1：三角函数值与点p在终边上的位置无关，那点P是否有一个比较合适的位置，使得三角函数的定义式更加简洁？

诱导：利用单位圆,

2

生：另r=1，则sin=y，cosx，tan师：此时点P具有什么特点？

生：点P即是角终边与单位圆的交点. y

x师：我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.我们又利用了单位圆又重新定义了任意角的三角函数。

其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图

这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.

（三）例题剖析

例1：sin2?

3总结：针对已知终边上的点的坐标，求三角函数值的题型，一般采用单位圆下的定义。

例2.已知角的终边经过点p0(3,4)

，求角的正弦、余弦和正切值。 总结：针对已知终边上的点的坐标，求三角函数值的题型，一般采用一般的定义。

设计意图

让学生学会选用合适的定义去解题。

（四）巩固提高

5

练习1.求

的正弦、余弦和正切值. 3

练习2.已知角α的终边上一点P(-15a,8a）（aR且a0），求角的sin,cos,tan的值。

练习3、已知角的终边在直线y2x上，求角的sin,cos,tan.

设计意图

巩固练习，加强重点知识的掌握，变式训练锻炼学生思维，加强分类讨论的数学思想。

(五）小结反思

通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？

设计意图

让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以

角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的

应用.

3

（六）作业布置

1、基础题

(1)平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆的交点A，点A的纵坐标为

3

，求tanα.

53

（2）若点P(2，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α=

,则tanα=______.

5

2、思考题

（1）三角函数在弧度制下的定义域

（2）三角函数在各象限的符号

设计意图

巩固知识，为下节课内容做好准备。

(七）板书设计

设计意图

简洁明了，重点明确，思路清晰。

一、一般定义

标题

二、单位圆下的定义

例题

练习

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