习题2.1PPT配套优秀教学设计内容

1.3

函数的基本性质

1．3.1

单调性与最大(小)值

第1课时

函数的单调性

1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)

[基础·初探] 教材整理1

增函数与减函数的定义

阅读教材P27～P28，完成下列问题．

增函数与减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D条件

上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时

都有f(x1)＜f(x2)

结论

那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

都有f(x1)＞f(x2)

那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

1

图示

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)

) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(

) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(

) 【解析】

(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．

(2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)．

x＋1，x∈1，2](3)×.反例：f(x)＝

x－1，x∈2，3.【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

教材整理2

函数的单调性与单调区间

阅读教材P29第一段，完成下列问题．

函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．

【解析】

因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．

【答案】

(－∞，1)

[小组合作型]

2

求函数的单调区

间

求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

1(1)f(x)＝－x；

2x＋1，x≥1(2)f(x)＝

5－x，x<1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【精彩点拨】

(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．

1【自主解答】

(1)函数f(x)＝－x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

2－x＋2x＋3，x≥02(3)因为f(x)＝－x＋2|x|＋3＝

2－x－2x＋3，x<0.

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．

1．求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间3

要根据函数的自变量的取值范围分段求解；

(2)利用函数的图象，如本例(3)．

2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．

[再练一题] 1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.

2．【导学号：97030046】

【解析】

因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．

【答案】

(a，＋∞) 函数单调性的判定与证

明

(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(

)

A．f(x)＝3－x

1C．f(x)＝x

B．f(x)＝(x－1)2

D．f(x)＝x2＋2x

x2(2)用单调性定义证明函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．

x－1【精彩点拨】

(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．

(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．

【自主解答】

(1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它1在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．

【答案】

D 4

(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则

2x2x2－x1x2＋x1x2x22－x112f(x1)－f(x2)＝2－2＝2＝. x1－1x2－1x1－1x22－1x1－1x1＋1x2－1x2＋1∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

x2所以，函数f(x)＝2在区间(0,1)上是减函数．

x－1

利用定义证明函数单调性的4个步骤

[再练一题] 112．已知函数f(x)＝a－x，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.

【导学号：97030047】

【证明】

设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0. 111111x2－x1∵f(x2)－f(x1)＝a－x－a－x＝x－x＝xx>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在211212(0，＋∞)上是单调递增函数．

[探究共研型] 函数单调性的应

用

探究1

若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？

【提示】

若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若5

函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a

若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？

【提示】

因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.

(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(

) A．f(a)＜f(2a)

C．f(a2＋1)＜f(a)

B．f(a2)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a) (2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(

) A．b＝3

C．b≤3

B．b≥3

D．b≠3 【精彩点拨】

(1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．

(2)分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．

【自主解答】

(1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，13也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝a－22＋4＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C. (2)函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，

若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C. 【答案】

(1)C

(2)C

6

1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．

[再练一题] 3．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．

【解析】

∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，

即x<－3. 【答案】

(－∞，－3)

1．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(

)

A．(－∞，1)

C．(－∞，2)

B．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 【解析】

易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．

【答案】

B 2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(

) A．y＝2x＋1

C．y＝3－x

B．y＝x2＋1 D．y＝x2＋2x＋1 7

【解析】

函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

【答案】

C 13．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1

) A．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)

B．f(x1)

1【解析】

∵函数f(x)＝－x在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1

【答案】

B

4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】

易知函数f(x)＝ax＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a<0. 【答案】

(－∞，0) 15．证明：函数f(x)＝x＋x在(－1,0)上是减函数．

【导学号：97030049】

11【证明】

设－1＜x1＜x2＜0，则有f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2＋x＝(x1－x2)12x1x2－111x1－x2·＋x－x＝，由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x212x1x2＞0，x1－x2＜0，

则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以函数在(－1,0)上为减函数．

8