习题3.1教学设计第一课时

《用二分法求方程的近似解》习题课教学设计

重庆南川中学校

罗光军

课题：《用二分法求方程的近似解》习题课

目标：正确理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

重点：

二分法的思想、解题步骤

难点：运用二分法求简单方程近似解的原理

教学过程：

一.知识回顾

1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

2．用二分法求函数零点近似值的基本步骤：

①．确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，给定精度ε；

②. 求区间(a,b)的中点c ③. 计算f(c)：

（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)·f(c)<0 ，则令b=c，此时零点x0∈(a,c)；

（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点x0∈(c,b). ④. 判断是否达到精确度ε：若

|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；

否则重复步骤

②～④．

二、例题分析

例1：利用计算器，用二分法求方程2＋3x＝7的近似解（精确度0.1）

分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 解:原方程即2＋3x＝7 ,令f（x）＝2＋3x －7,用计算器作出函数

的对应值表与图象（如下): x f(x)=2x+3x-7

43xxx0 1 2 3 4 5 6 7 -6 -2 3 10 21 40 75 142 fx = 2x+3x-721-2-101246810-2-3-4

观察上图和表格,可知f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间-6-5(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得

f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5), x0∈(1.375,1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.

例2．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数。

解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与3yy=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标x0，显然21o12x03x

在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较x0与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C。

x103x0ax25x3（2）原方程等价于即

1x3ax0(x1)(3x)ax构造函数yx25x3(1x3)和ya，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当1a3或a13时，原方程有一解；②当3a13时，原方程有44两解；③当a1或a13时，原方程无解

4例3．若函数yf(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)0，不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

B．若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)0；

C．若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a,b)使得f(c)0； D．若f(a)f(b)0，有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间[2,2]上满足f(2)f(2)0，但其存在三个解{1,0,1}”推翻；同时选项A可通过反例“f(x)(x1)(x1)在区间[2,2]上满足f(2)f(2)0，但其存在两个解{1,1}”；选项D正确，见实例“f(x)x21在区间[2,2]上满足43210YyaX1x52234

f(2)f(2)0，但其不存在实数解”

三、小结

1、二分法的实质：一分为二，逐步逼近

2、数学思想：数形结合，函数与方程。

四、课后练习：

1、关于“二分法”求方程的近似解，下列说法中正确的是（ ）

A．“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在区间

[a,b] 内的所有零点得到

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在区间

[a,b] 内的零点

C．

应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在区间

[a,b] 内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)0在区间

[a,b] 内的精确解

2、

方程f(x)0在区间[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到x100.445达到精确度要求，那么所取误差限是（ ）

A．0.05

B．0.005

C．0.0005

D．0.00005 3、

（1）借助计算器，用二分法求方程ln(2x6)23在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）. x（2）借助计算器，用二分法求方程23x7在区间（1，2）的近似解（精确到0.1）. xx，2内的近似解过程中得：4、

已知用二分法求方程33x80在x1f10,f1.50，f1.250，则方程的根落在区间（ ）

A.(1,1.25)

B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)

D.不确定