习题3.1教学活动设计方案

《利用函数图像解决函数零点问题

》

教学设计

丰南一中：侯丽爱

一、教材分析：

本节课是高中数学人教A版必修一第三章第一节第一课时内容，依托函数性质、结合函数图像，解决有关方程的根与函数零点问题，是对函数知识的一个升华。

高考地位：

纵观近几年全国各地的高考试题，经常出现一些与零点有关的问题，它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇闪亮登场，可以说“零点”成为了高考的热点、亮点和生长点。

二、学情分析：

本节课属于高考复习课程，学生有对函数性质的知识储备，又学习了研究函数单调性的有利工具“导数”，因此学生们有较好的姿态面对本节课的知识，但是函数以及导数的学习都有较高的难度，学生对此知识的系统性以及灵活运用还很欠缺，也从而导致学生学习有一定困难。

三、教学目标：

1、理解函数零点与方程的根以及函数图像交点的联系。

2、利用数形结合思想完成函数零点问题。

3、能根据函数零点的情况求参数的取值范围。

四、教学重点：

理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识。

教学难点：

1、函数图像的画法。

2、根据函数零点的情况求参数的取值范围。

五、教法教具：

师生合作教学，利用多媒体、几何画板、白板以及极课大数据分析进行教学。

六、教学过程：

(一)

知识回顾

(二)

知识应用

函数零点问题无论是在小题中考察还是与导数相结合考察都属于有难度的问题，下面针对我们对零点问题练习的结果，学习利用函数图像解决解决零点问题。通过“极课大数据分析”看一下答题情况以及我们的知识漏洞。简单了解班级平均分，成绩排名。首先看错误率比较高的函数零点个数问题第4题

函数fxx2的零点个数为（

）

2xA. 0

B. 1

C. 2

D. 3

1、数形结合，导致丢掉一个点

2、求根（2,4）（4,16）丢一个

几何画板演示

本题设计意图：数形结合完成问题同一坐标系下的两个函数图像相对位置要准确，考虑问题要全面，否则容易丢解。

第6题．函数fx3sin【解析】2xlog2x的零点的个数为（

）A. 3

B. 4 C. 5

D. 6【答案】C 函数fx3sin2xlog2x的零点个数就是对应的函数y3sin2x与ylog2x的交点个数根据图象判断有5个交点个数

故选C

本题设计意图：画图关键，需特别注意临界点函数值。

有关函数图像解决已知函数零点问题求参数取值范围的问题。

（第15题）定义域为R的偶函数fx满足对xR，有fx2fxf1，且当x2,3时，

fx2x12x18

，若函数yfxlogax1在0,上25至多有三个零点，则a的取值范围是__________.【答案】5,11,

展台展示学生分析过程

【解析】

∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至多有3个交点．

可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有，当一个交点都没有时，即a>1.

当有交点时，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三个零点，

则有g（4）

loga（4+1）＞f（4）=﹣2，即loga5<﹣2，∴5>1，解得，又0a2＜a＜1，∴5＜a＜1，故答案为：

555,11,。

x易错题16．已知函数fx{x22x1,2x0,e,x0,

若函数gxfxaxa存在13【解析】函数（gx）（fx）axa存在零点，即方程（fx）axa0

存在实数根，

也就是函数y（与y（的图象有交点．如图：直线fx）ax1）零点，则实数a的取值范围为__________．【答案】a或ae2

（1，0），（2，1）（1，0）恒过定点

过点与的直线的斜率y（ax1）k101＝；

213xx设直线y（与ye相切于，则切点处的导数值为ax1）（x0，e0）0），则ex0，则过切点的直线方程为yex0＝ex0xx0，由切线过（1，

得x02

．此时切线的斜率为e2

．由图可知，要使函ex0＝ex01x0，x0ex0＝2ex0，数（

gx）（fx）axa

存在零点，则实数a的取值范围为a

或ae2．故答案为：

a

或ae2．

准确的函数图像是得出正确结果的关键，因此做函数图像千万要注意，比如第19题

已知fxxlnxax. 21313（1）若fx有两个零点，求a的范围；（2）若fx有两个极值点，求a的范围；. 试题解析：

（1）alnxlnx1lnx,gx，两图象有两交点令gx

xxx2当x0,e,gx0,gx

当xe，,gx0,gx，

ge11结合图像，

0a。

ee（2）fxlnx12ax有两个改变fx符号的零点

lnx1lnx1lnx,x2

对应的两函数的图像有两交点令x2x2xx1,x0,x,1

当x0,1,x0,x当x1，2等价于a

结合图象，

0a1

22此题关键注意画图像时x无限大时函数值接近于零，永远为正值，图像在X周轴上方

第20题．已知函数fx4lnx2x3ax. （1）当a1时，求fx的图象在1,f1处的切线方程；

（2）若函数gxfx3axm在,e上有两个零点，求实数m的取值范围. e【答案】（1）y3x2；（2）m2,4212. e244x3，

f'13

x解析：（1）∵fx4lnx2x3x，

f11，∴f'x∴切线方程为y13x1，即y3x2

24x142（2）∵gxfx3axm4lnx2xm，∴g'x4x，

xx当x,1时，

g'x0，

gx4lnx2xm在,1上单调递增；

21e1e当x1,e时，

g'x0，

gx4lnx2xm在1,e上单调递减. 2因gx4lnx2xm在,e上有两个零点，

e21g12m0所以{g4m2222212m02e442m4，即.∵，∴，{m42222eeeeem2e24ge42e2m0即m2,42. 2e本题意图：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 七、教学反思

通过本节课的学习，让学生体会到函数图像的重要性以及数形结合解决问题的思想，更进一步了解解体的细节和易错点的考虑，学生积极参与，多媒体几何画板的直观演示，使课堂收到了良好的效果。