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《函数的应用》章末复习

教学目标

1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．

[教学重难点]1、函数与方程之间的联系；2、建立函数模型。

[教材分析] 第三章函数的应用构建了函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解，对函数模型的建立有了初步的认识，并能利用函数模型解决实际应用问题，也就是高中数学建模的开始。[学情分析] 数学建模是中学数学的六大核心素养之一，本章的重点就是培养学生如何进行数学建模，由于刚学完本章的新知识，学生不能系统运用，有必要再对所学知识进行梳理、总结、归纳。进一步强化函数与方程之间的联系，培养学生函数的应用意识，体会数学来源于生活。

[教学过程]

1．知识网络

2．要点归纳

(1)函数的零点与方程的根的关系：

①方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

(2)二分法

①图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．

②用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；

③若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b)．

(3)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．

(4)函数模型

①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法．

②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域．

③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响．

fx1．函数y＝f(x)－g(x)的零点即方程＝1的根．(

×

) gx2．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.(

√

) 3．存在x0，当x>x0时，有2x>x3.(

√

) 4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．(

√

)

类型一

函数的零点与方程的根的关系

例1

若函数f(x)mx22x3只有一个零点，求实数m的取值范围。

解：（1）当m＝0时，函数f(x)2x3是一次函数，令f（x）＝0得x3，函数

2只有一个零点，符合题意；

（2）当m0时，函数是二次函数，要使函数只有一个零点，应使方程f（x）＝0只有一个实数根，因此412m0，得m11.综上，实数m的取值范围是m＝0或m.

33反思与感悟：函数y＝f（x）的零点，就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标，也就是方程f（x）＝0的根，所以求函数的零点问题都可以转化为求相应方程的根的问题。

例2 已知方程2x1＋2x2－a＝0有两根，则a的范围是________________．

－分析：本题是非常规方程，利用传统方法难以奏效，但是可以构造函数利用数形结合思想求解。

解析：原方程化为，在同一坐标系内作函数y=2x-1和y=－2x2+a的图象，如右图．要使方程有两根，必须两个函数的图象有两个11交点．由于函数y=2x-1的图象与y轴的交点是(0,

)，所以，当a=时，抛221物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合；当a>时，它们必有两个交点．

2反思与感悟：确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

2跟踪训练1

若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(

) xA．(1,3)

B．(1,2)

C．(0,3)

D．(0,2) 考点

函数零点存在性定理

题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

C 解析

显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，

即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3. 类型二

用二分法求函数的零点或方程的近似解

例3

求函数f(x)x3x22x2的一个正数零点，（精确到0.1）

分析：用二分法，要注意初始区间的选取。

解：由于f(1)20,f(2)60，可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分

法逐次计算如下：

f(1)20,f(2)60，x0(1,2)；

x11.5,f(x1)0.6250,x0(1,1.5)；

x21.25,f(x2)0.9840,x0(1.25,1.5)；

x31.375,f(x3)0.2600,x0(1.375,1.5)；

x41.4375,f(x4)0.1620,x0(1375,1.4375)；

x51.40625,f(x5)0.0540.

由上面的计算可知，取[1.375，1.4375]的长度小于0.1，所以这个区间的中点x51.4可

作为所求函数的一个正实数零点的近似值。

反思与感悟

(1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．

(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．

(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解．

跟踪训练2

已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________. 考点

用二分法求函数的近似解

题点

用二分法判断函数零点所在的区间

答案

2 解析

∵a＞2，

∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，

且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b. ∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1. ∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，

∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0. 又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．

类型三

函数模型及应用

例3

某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：

第t天

Q/万股

4

36

10

30

16

24

22 18

(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；

(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．

考点

函数模型的综合应用

题点

函数模型中的最值问题

5t＋2，0

(1)P＝1－10t＋8，20

(t∈N*)．

4a＋b＝36，(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，把(4,36)，(10,30)代入得

10a＋b＝30，

所以a＝－1，b＝40，

所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0

(3)由(1)(2)可得y＝1t＋2×40－t，0

即y＝110t－60－40，20

(t∈N*)．

当0

当20

ymax<1(20－60)2－40＝120(万元)．

10所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．

反思与感悟

由于实际问题信息量大，有时还会出现一些陌生词，所以审题时要抓住主被动变量，围绕寻找主被动变量的关系去检索题目信息，搭建模型框架再逐步细化框架．

跟踪训练3

某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekxb＋(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．

考点

函数模型的应用

题点

指数、对数函数模型的应用

答案

24 be＝192，11＋解析

依题意得22k＋b两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33kb＝e33k·eb＝24，即42＝48，e

该食品在33℃的保鲜时间是24小时.

1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．至少1个

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

判断函数零点的个数

答案

D 解析

在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.

2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)

考点

函数拟合问题

题点

据实际问题选择函数模型

答案

D 解析

由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合．故选D. 3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

) A．(a，b)和(b，c)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

函数的零点与方程根的关系

答案

A 解析

由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A. 4．设函数f(x)＝log3

x＋2－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．

xB．(－∞，a)和(a，b)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

考点

函数零点存在性定理

题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

(log32,1) 5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间

2015年5月1日

2015年5月15日

加油量(升)

12

48

加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．

考点

建立函数模型解决实际问题

题点

建立函数模型解决实际问题

答案

8 解析

由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600(千米)，耗油量为48升，

∴每100千米耗油量为8升．

1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．

2．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

3．函数建模的基本过程如图

一、选择题

1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是(

) 1A．a＞

51B．a＞或a＜－1 5

1C．－1＜a＜

5考点

函数零点存在性定理

D．a＜－1 题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

B 解析

当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a1在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞. 5x2－1，x≤1，2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋logx，x＞1，2

11A.，0

B．－2,0

C.

D．0 22考点

函数零点的概念

题点

求函数的零点

答案

D 解析

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x1＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0. 23．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(

) A．大于0

B．小于0

C．等于0

D．无法判断

考点

函数零点存在性定理

题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

D 解析

观察下列各种图象：

上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)＜0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0. a4．若函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是(

) xA．(－∞，0)

C．(0，＋∞)

考点

函数零点存在性定理

B．(－∞，0] D．[0，＋∞)

题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

B 2ax－a解析

f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0. xx5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为(

) 10，

A.811C.4，2

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

函数的零点与方程根的关系

答案

C 解析

因为f(x)在定义域内为单调递增函数，

11而在4个选项中，只有f 4f 2＜0，

11所以零点所在区间为4，2. 6．下列说法中正确的个数是(

) ①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；

②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；

③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；

④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

A．1

B．2

C．3

D．4 考点

函数零点的概念

题点

求函数的零点

答案

B 解析

根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B. 7．已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是(

) 11B.8，4

1D.2，1

A．[－4，－2]

B．[2,4]

C．[－2,2]

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

函数的零点与方程根的关系

答案

A D．[－4,2]

解析

在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，

∴2t·(－t)2≥1，即t2≥2t.由所给图象得2≤t≤4，

－即2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2. 8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，且其图象连续不断．若1f2>0>f(3)，则方程f(x)＝0的根的个数是(

) A．2

C．3

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

判断函数零点的个数

答案

D 1解析

因为f 2>0>f(3)，

11，3内所以f ·f (3)<0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减且图象连续不断，故f(x)＝0在22必有一个根．

1－3，－内也必有一根．若f(x)的图象在R上连续，则f(x)又f(x)是R上的偶函数，则在2＝0有两个根；若f(x)的图象在R上不连续，因为f(x)为偶函数，所以不连续点有可能在原点，则f(x)＝0可能有3个根，综上，方程f(x)＝0的根的个数是2或3. 二、填空题

9．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

由函数零点个数求参数的取值范围

答案

(0,2) 解析

将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．

B．2或1 D．2或3

由f(x)＝|2x－2|－b＝0，

得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0

10．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．

考点

函数的零点与方程的根

题点

函数的零点与方程的根

5－，1

答案

41解析

设f(x)＝x2－x－(m＋1)，∵f(x)＝x2－x－(m＋1)的对称轴为x＝，

211≤0，f≤0，f∴2或2

f1≥0f－1≥0，55m≥－4，m≥－4，∴或

m≤－1m≤1，5∴－≤m≤1. 411．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt－nt

，升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量a相等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟．

8

考点

函数模型的应用

题点

指数、对数函数模型的应用

答案

10 解析

由题意得ae－5n＝a－ae－5n，en＝－1.

215t＋5aa－＋设再经过t分钟，桶1中的水量只有，则aen(t5)＝，即＝3，解得t＝10. 885三、解答题

12．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b.

(1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；

(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围．

考点

函数的零点与方程根的关系

题点

一元二次方程根的分布

解

(1)当b＝－1时，f(x)＝x2－(a＋1)x－1. 因为f(0)＝－1，若函数f(x)在[2,3]上有一个零点，

f2≤0，1－2a≤0，15则即解得≤a≤. 23f3≥0，5－3a≥0，

15即实数a的取值范围是2，3. (2)将b＝a代入函数f(x)的解析式，得

f(x)＝x2－(a＋1)x＋a. 令g(a)＝(1－x)a＋x2－x，a∈[2,3]．

由题意，得g(a)＜0在a∈[2,3]上恒成立，

2g2＜0，x－3x＋2＜0，所以即2解得1＜x＜2. g3＜0，x－4x＋3＜0，

故所求x的取值范围是(1,2)．

13．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．

(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；

(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．

考点

函数模型的应用

题点

分段函数模型的应用

解

(1)由函数图象可知

5当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；

2当8＜x≤12时，Q＝－x＋13. 5－2x＋25，5≤x≤8，所以Q＝

－x＋13，8＜x≤12.

(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，

则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，

5－x＋25x－5－10，5≤x≤8，即f(x)＝2

－x＋13x－5－10，8＜x≤12，15545x－2＋，5≤x≤8，－228＝

2－x－9＋6，8＜x≤12.所以当5≤x≤8时，

1545在x＝处，f(x)取得最大值；

28当8＜x≤12时，在x＝9处，f(x)取得最大值6. 综上可知，该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．

四、探究与拓展

14．我们把形如y＝b(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地|x|－a

称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________. 考点

函数的零点与方程根的关系

题点

判断函数零点的个数

答案

4 解析

由题意知，当a＝1，b＝1时，

x－1x≥0且x≠1，1y＝＝|x|－11－x＋1x＜0且x≠－1.点．

1

在同一平面直角坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交

15．已知函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)与0的关系为________．

考点

函数零点存在性定理

题点

函数零点有关的参数取值范围

答案

f(m－1)>0 解析

设f(x)的零点为x1，x2，则x1x2＝a，x1＋x2＝1，所以|x1－x2|＝x1－x22＝

x1＋x22－4x1x2＝1－4a.又a>0，所以0≤|x1－x2|<1. 由f(m)<0，知f(m－1)>0.