习题2.2名师教学实录

课题

对数函数

都江堰市青城山高中

艾明广

一.教学目标：

1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．

2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．

二.教学重点，难点：

重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．

难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．

三.教学方法：启发研讨式

四.教学用具：投影仪

五.教学过程：

1.引入新课

今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．

2.提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

由学生说出求反函数的过程：

由

得

所求反函数为

是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答

．又．

的值域为

，

3.那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．

2．8对数函数

(板书) 一.对数函数的概念

定义：函数数函数．

的反函数

叫做对

由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为对数函数的值域为

．

在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．

，且底数

就是指数函数中的

，故有着相同的限制条件

，

二．对数函数的图像与性质

(板书)

作图方法

提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．

由于指数函数的图像按应以1为分界线分成两种情况例画图．

具体操作时，要求学生做到：

和

和

分成两种不同的类型，故对数函数的图像也

，并分别以

和

为

指数函数

画出直线

和

．

的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．

的图像在翻折时先将特殊点

轴，而

对称点

找到，变化趋势由靠近

轴对

左侧称为逐渐靠近

的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在

右侧的部分．

的先翻，然后再翻在

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

内)如图：

和

的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系

草图．

教师画完图后再利用投影仪将如图：

和

的图像画在同一坐标系内，

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

性质

①定义域：

②值域：

轴的右侧．

，即在

轴上的截距为1，与

轴无交点即以

轴为

由以上两条可说明图像位于

③截距：令渐近线．

得

④奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于

⑤单调性：与

有关．当

当

时，在

时，在

轴对称．

上是增函数．即图像是上升的

上是减函数，即图像是下降的．

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

⑥当

时，有

；当

时，有

．

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．

三．简单应用

(板书)

研究相关函数的性质

求下列函数的定义域：

(1) (2)

(3)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．

利用单调性比较大小

(板书)

比较下列各组数的大小

(1)

与

；

(2)

与

；

(3)

与

；(4)

与

．

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．

4.巩固练习

练习：若5.小结

6．作业

略

板书设计

，求

的取值范围．

教案点评：

根据教材内容和课程标准的要求，本节课的重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质。教案的编写从四个环节设计教学过程。各个教学环节，依据教学内容和教学目标的不同要求，呈现的教学方式、方法各有不同，第一个环节从复习指数函数开始，有学生熟悉的指数函数入手，引起学生兴趣；第二个环节是对数函数的定义；第三个环节：因为学生已经具有一定的作图能力，让学生画出常见的几个函数图象，并总结出对数函数的性质。第四个环节：简单应用。因此通过学生之间、师生之间的交流、讨论，使知识系统化、条理化，利于学生记忆对数函数的性质。