复习参考题教案3

第二章

基本初等函数

复习参考题

教学设计

一、教材内容与解析

（一）内容：①指数幂与对数的运算；

②指、对、幂数函数的概念、图像及其性质. （二）解析：指数幂与对数的运算主要是通过目标检测部分的习题练习加强学生对指数幂与对数运算性质的灵活运用；因此教学设计部分主要以研究指、对、幂数函数的概念、图像及其性质为主线展开。通过对指数函数、对数函数、幂函数具体的实例及习题练习，加深学生对函数概念、图像及其性质的理解。函数是整个高中数学的教学重难点，是必修一的主要内容。通过本章节的学习不仅要教会学生基本初等函数的图像和性质本身，更要教会学生今后研究一个具体函数的一般方法，为整个高中数学中对函数的学习研究打下基础。本章节的重点是指、对、幂数函数的概念、图像及其性质；难点是如何运用指、对、幂数函数的概念、图像及其性质解决一些基础题型，通过典型题目的练习培养学生的函数思想。解决这些问题的关键是需要学生感受数形结合的数学思想，多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。本课计划用3节课进行学习，其中正课

1节，作业及讲评2节. 二、教学目标及解析

目标：

①进一步加深理解指、对、幂数函数的概念；

②掌握指、对、幂数函数的图像特征，如定点、变化情况；

③掌握指、对、幂数函数的基本性质；

解析：目标①是让学生能根据指、对、幂数函数概念判断出什么是指数函数；

目标②是让学生体会数形结合、分类讨论和归纳总结的数学思想；

目标③是让学生能通过指、对、幂数函数图像去分析指、对、幂函数的一些基本性质。

三、教学重难点

①以基本函数形式出现的综合题和应用题；②指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面。

四、问题诊断分析

本节课的复习教学中，学生可能出现如下几个问题：

1、指、对、幂数函数的概念分别是什么？

2、指、对、幂数函数分别具有哪些性质？

3、指、对、幂数函数图像分别过哪个定点？怎样求指、对、幂函数的定义域和值域？

学生出现这几个问题的原因是不理解指、对、幂函数概念的本质，对指、对、幂函数的性质、图像理解不透彻，解决这些问题的关键是需要学生通过大量练习基础题型后感受数形结合的数学思想，培养学生能灵活运用函数的概念、图像及性质去解决具体问题的能力。因此本节课从学生原有知识和能力出发，让学生动手操作为主，教师引导为辅、通过大量的基础题型的练习后让学生自主消化并进一步对本章节形成一个整体性的知识，由表及里、由感性到理性地认识事物及其规律，突破教学重难点。

一．教学过程

1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点．

3．应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．

4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．

5．理解幂函数的概念、图象和性质．

在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况．

6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．

二情景探究

题型一

有关指数、对数的运算问题

指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．

指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．

3－－例1

(1)化简：xy2·xy1·xy·(xy)1(xy≠0)；

332log5(2)计算：2log32－log3＋log38－25. 9解

(1)原式＝xy2xy＝x·x1311213xy12·(xy)＝x·yx－1132316y16x12y12

131，

x>0＝

－1，

x<0

3322log5(2)原式＝log34－log3＋log38－5

9392log5＝log3(4××8)－5＝log39－9＝2－9＝－7. 322lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log5跟踪演练1

(1)求＋5＋164的值．

log54·log253(2)已知x＞1，且x＋x＝6，求x－x－11212. 32lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log解

(1)＋55＋164

log54·log253lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 5＝＋2＋(24)4

2log52·log25＝3－1＋2＋8＝11. 2231—1－122x-x(2)＝x＋x－2＝6－2＝4，

12121212又x＞1，∴x－x＞0，∴x－x＝2. 题型二

指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质

函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．

1x2例2

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

.

解

(1)先作出当x≥0时，f(x)＝在x∈(－∞，0)时的图象．

1x2的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

跟踪演练2

(1)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 x3(2)函数y＝x的图象大致是(

) 3－1

答案

(1)C

(2)C 解析

(1)

g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．

x3(2)由3－1≠0得x≠0，∴函数y＝x的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，3－1x－13364y＝＝＞0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数1280－13图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型三

比较大小

比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．

10.23例3

设a＝log13，b＝，c＝2，则(

) 321A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c

答案

A 10.23解析

a＝log13＜0,0＜b＝3＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c. 21跟踪演练3

(1)下列不等式成立的是(

) A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23 C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32 1(2)已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga3，y＝loga5，z＝loga21－loga3，则(

) 2A．x＞y＞z

B．z＞y＞x

C．y＞x＞z

D．z＞x＞y

答案

(1)A

(2)C 解析

(1)由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.故选A. (2)依题意，得x＝loga6，y＝loga5，z＝loga7.又0＜a＜1，5＜6＜7，因此有loga5＞loga6＞loga7，即y＞x＞z.故选C. 题型四

分类讨论思想

本章常见分类讨论思想的应用如下表：

问题

讨论标准

分类情况

(1)a＞1时，若f(x)＞g(x)，

比较af(x)与

ag(x)的大小

a与1的

大小关系

则af(x)＞ag(x)；

(2)0＜a＜1时，若f(x)＞g(x)，则af(x)＜ag(x)

解不等式

af(x)＞ag(x)

比较logax1与

logax2的大小

a与1的

大小关系

a与1的

大小关系

(1)a＞1时，f(x)＞g(x)；

(2)0＜a＜1时，f(x)＜g(x) (1)a＞1时，若x1＞x2，则logax1＞logax2；

(2)0＜a＜1时，若x1＞x2，则logax1

＜logax2

解不等式

logaf(x)＞

logag(x)

a与1的

大小关系

(1)a＞1时，f(x)＞g(x)＞0；

(2)0＜a＜1时，0＜f(x)＜g(x) 1例4

已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)2＝0，的解集．

解

∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

1－1＝0. 又f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f2211故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－. 2211①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，

22得x＞a或0＜x＜a. a11②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，

22得0＜x＜a或x＞a. a综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为0，a∪(a，＋∞)；当0＜a＜1时，f(logax)a＞0的解集为(0，a)∪a，＋∞. ax23x3跟踪演练4

已知函数y＝a1在x∈[1,3]时有最小值，求a的值．

833x－2＋，

解

令t＝x2－3x＋3＝243当x∈[1,3]时，t∈4，3. 11①若a＞1时，则ymin＝a＝，解得a＝，与a＞1矛盾．

8161②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，

811解得a＝，满足题意．综合①②知，a＝. 22三小结

1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热34

点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．