3.1.2 指数函数教学设计

课题：指数函数(1)

授课教师：朱丽娟(扬大附中东部分校) 教材: 苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1

一.教学目标

布卢姆认为：“科学地确立学习目标是教学的首要环节”，根据教材分析及学生的认知特点，本节课教学目标有以下三个方面：

1.知识与技能目标

(1)通过问题情境中的实例分析，构造出指数函数并理解指数函数的概念；

(2)会用计算机(器)作不同的指数函数的图象，并根据函数的图像探索并理解指数函数的性质; (3)能利用指数函数的图象与单调性质解决两个指数值的大小比较问题. 2．过程与方法目标

(1)经历构造指数函数的过程，体会指数函数是一类重要的函数模型,并有着广泛的用途; (2)经历指数函数性质的探索过程,体会具体函数的研究方法和过程; (3)通过实际应用，培养学生建立数学模型的能力和数学探究及问题解决的能力. 3．情感与态度目标

通过经历数学发现的过程，培养学生观察、分析、抽象概括能力，培养其积极探索的精神和用数学的眼光看待客观世界的意识. 二.教学重点、难点

指数函数是一类重要的函数模型，函数的图象是研究函数问题的“导游”，也是从“形”的角度来理解函数概念的手段.因此本节课的重点是指数函数的定义、图象和性质(特别是单调性和特殊点)及探索图象与性质的过程. 指数函数的性质探索过程和性质应用是本节课的难点. 三．教学方法与教学手段

本节课采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受.

四．教学过程

1.创设情境，引入新课

情境1 某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……,如果分裂一次需要10min,那么, (1)1个细胞1h后分裂成多少个细胞; (2)假设细胞分裂的次数为x,相应的细胞个数为y个,那么y关于x的函数关系式如何表示? 情境2 某放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量y关于时间x的函数关系式. 设计意图：这里以实际应用为背景，激发学生学习指数函数的欲望.这两个问题的所设计的指数函数正好代表着两种不同的底数.在利用计算机画图象时可以代表两类指数函数的图象. 2．概念形成

探究1指数函数的定义形成.

1

问题1-1上述两个问题中的函数表达式有什么共同特征?从使得函数表达式有意义的角度看, 自变量xR能否行得通?

问题1-2

函数表达式的右边都是指数幂的形式,自变量x在什么位置? 可否给这样的函数一个专门的名称? 设计意图：探究1的设计目的是让学生学会观察和归纳式子的共同特征,尝试用数学家的眼光定义函数,感受数学有用、数学不难. 探究2 指数函数的定义分析. 问题2-1函数的底数,系数各自有什么要求? 问题2-2 若底数a1,a0,解析式如何? 问题2-3辨析函数yx2和y2x是否都为指数函数.你能否设计一个函数让其他同学判断是否为指数函数? 问题2-4结合我们学过的函数,像这样的形式化定义还有哪些? 设计意图：维果茨基认为，儿童认知中的已有知识经验和所学知识之间存在最近发展区.学生在已有指数函数定义的基础上,引导他们分析指数函数的形式特征,辨析指数函数的肯定与否定例证,明确概念的内涵和外延.而让学生自行设计问题自行寻找答案,不仅可以让学生加深对概念的理解,更可以培养学生的问题提出和解决能力. 3.探索归纳

在上一节中,研究函数问题可以从哪些方面入手? (定义域值域,单调性奇偶性,图象).我们得到函数图象的方法有哪些?(五点作图法有局限,借助于计算机或图象计算器). 11利用计算机在同一坐标系中作出指数函数y2;y;y10x;y的图象. 210xxx探究3指数函数的性质归纳. 问题3-1从研究一般函数的三个层面来看,可以从上述四个函数的图象的到哪些性质? 问题3-2能给这四个指数函数分类吗?分类的标准是什么?

师生活动:借助于计算机作出底数a变化时的指数函数的图象,学生观察图象得到一般的指数函数的图象和性质,完成表格. 指数函数的图象与性质

a1

0a1

图

象

(1)定义域:R 2

性

(2)值域:(0,)

质

(3)图象过定点(0,1)

(4)在(,)上是单调增函数

(4)在(,)上是单调减函数

设计意图:

数形结合是高中数学教学要体现的重要思想方法.图象不仅是函数的一种表示方法,更是认识函数性质的直观通道.利用计算机作出的是四个具体的指数函数图象,让学生从直观感性上区别底数a1和0a1两种情形,也为这类问题的分类讨论打下基础. 再利用几何画板展现底数a变化时的指数函数的图象,归纳其性质.学生归纳指数函数的性质的过程不仅可以让学生更深刻的理解指数函数的性质,还给学生提供了一种研究函数性质的途经.

探究4 指数函数性质的再探究

问题4-1在画图的过程中,你还发现了指数函数的其他性质吗?(渐近线/与1的大小比较/凹凸性)

1问题4-2指数函数y2与指数函数y的图象有着怎样的关系?进一步地,你能得到怎样2xx的结论? 师生活动:作出指数函数y0.84x的简图并结合指数函数y2x的图象,回看问题情境中的两个问题,说出随着时间的增加,细胞的个数物质衰变后的量的变化趋势. 设计意图:第一个问题是对于性质的补充,比如图象的渐近线,函数值与1的比较,也可以介绍函数图象的凹凸性等,这部分有着很大的生成性.第二个问题是两个函数的图象对称问题,这在探究3的图象中也有直观的表示,可以让学生认识到解析式中的变换与对应函数图象的关系.师生活动是通过实例,让学生感受到指数函数模型的重要性,也解决了一点实际问题. 4．实际应用

例1比较下列各组数中的两个值的大小：

2.53.2(1)1.5,1.5;

(2)0.51.2,0.51.5;

(3)1.50.3,0.81.2.

师生活动：比较大小常常利用的是函数的单调性.引导学生总结比较两个幂大小的方法:要比较两个同底数幂的大小,通常是构造一个同底数的指数函数,并考查其单调性;要比较两个不同底数幂的大小,常常找一个“中间值”来过渡，“1”是一个常见的中间值，实际上是构造两个指数函数，并利用它们的单调性来求解. 设计意图:让学生熟悉指数函数性质中单调性和特殊点的应用,加深对于指数函数性质的理解. 例2(1)已知3x30.5,求实数x的取值范围; (2)已知0.2x25,求实数x的取值范围; (3)已知5x3x,求实数x的取值范围;

3

(4)已知axa3,(a0,a1). 师生活动：不等式的求解都是先求等式的解,在根据单调性求x的取值范围.对于(4)中的问题,引导学生如何认识参数a,寻找求解方法. 学生活动：总结求指数不等式的一般方法.总结指数函数的学习中应注意的问题.

设计意图：这四个问题有一定的难度梯度.(1)(2)两个问题代表了a的两种具体情况.(3)中有不同的方法可以解决,让不同的学生有不同的思维方向和空间.(4)当中体现形式化定义方式下分类讨论的必要性. 具体的方法是让学生理解通过构造指数函数,利用指数函数的单调性求解不等式.这在解对数不等式也有着同样的操作意义. 5.回顾反思

(1)通过本节课的学习，你学到了那些知识？

(2)你又掌握了哪些研究函数性质的方法？

(3)你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？目前数学教学中最薄弱的环节正是数学反思性学习.因此，本节课安排了回顾反思的环节，通过培养学生的反思习惯提高学生的反思能力. 让学生总结本节课的主要内容并注重研究指数函数图象和性质的方法和研究一般函数的研究角度一样.同时引导学生对解题思路进行总结. 6.作业布置

(1)阅读课本P49-P51. (2)书写作业分基础题，能力题和课后探究题.基础题是课本第52页练习的1-5题.能力题是课本第54页习题的1、2、7题；探究题是问题情境2中，如何利用所学知识求出该物质的半衰期近似解. 设计意图:学生的数学学习应重视课本的使用和进行数学阅读,所以作业安排了阅读课本. 布置的作业既体现设计的层次性、探究性和实践性，从而尊重学生个体差异，让不同的学生获得不同水平的发展.

五．教学评价

课堂中对学生的评价应更加关注过程性评价.通过对学生学习过程的评价,应努力引导学生正确认识数学的价值,产生积极的数学学习态度、动机和兴趣.评价中应关注学生是否积极主动地参与数学学习活动、是否愿意和能够与同伴交流数学学习的体会、与他人合作探究数学问题.学生学好数学的自信心、勤奋、刻苦以及克服困难的毅力等良好品质也是数学学习过程评价的重要内容.

六.教学设计说明

指数函数是一类重要的函数模型，在实际应用和解决与指数函数相关复合函数问题的原型函数. 由于学生是在前一节研究过一般函数的图象和性质的基础上系统地研究指数函数，同时,研究指数函数的方法也可以应用到下一节对数函数中去.因此,这对于前一节一般函数的研究是一种具体的实践检验,对于后一节对数函数的学习是一种方法论的指导.故本节课的学习有这承前启后的作用.同时,概念和性质的获得过程应体现体现知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段. 基于以上认识，我设置了本节课的教学目标，选择了引导发现式教法和多媒体辅助教学. 学生是学习的主体,因此,本节课以问题为主线引导学生主动观察、发现、归纳和概括.整个的教学过程分为创设情境、概念形成、探索归纳、数学应用、回顾反思、作业布置六个阶段. 本节课是学生在研究过函数的概念和图象以及分数指数幂的基础上学习指数函数,教学中应让学生在已有的知识经验基础上，掌握新概念.所以，本节课安排了探究1和探究2.

4

函数的图象是研究函数问题的“导游”，也是从“形”的角度来理解函数概念的手段.基于“发现学习”和“有意义学习”理论,本节课安排了利用指数函数的图象探索指数函数的性质即探究3.为了更深刻地理解指数函数的图象和性质,本节课安排了探究4. 在性质的应用中,本节课安排了例1、例2. 指数函数模型的建立和应用需要一个过程,因此,本节课的教学评价更应关注过程性评价. 作业布置中,根据学生的学习的差异性,设置了分层作业以提供尽量有弹性的作业.也考虑到培养学生先看书后作业的学习习惯.

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