2.2.1 函数的单调性课堂实录【3】

第二章

函数

高一数学教学案

一、课题：函数的单调性（1）

二、教学目标

1、理解函数单调性的定义。

2、能根据图像正确的指出单调区间

3、会判断并利用定义证明一些函数的单调性

4、会利用单调性的定义来解决一些实际简单问题

三、教学重点与难点

重点：函数单调性的概念和证明

难点：利用函数的单调性解决具体函数的单调性

四、教学过程

1、情境设置：

第2.1.1节开头的第3个问题

2、基础知识：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为单调增区间。

如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，

那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为单调减区间。

注：①定义中的关键词：任意

都有

②函数的单调性指的是某一个区间上的局部性质

③yf(x)在区间I上是单调增函数,若f(x1)f(x2)，则x1x2

若x1x2，则f(x1)f(x2)

课堂笔记：

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第二章

函数

高一数学教学案

3、例题讲解

例1、

画出下列函数的图像，并写出单调区间

(1)yx22

(2)y1

xx21,x0(3)f(x)

(4)讨论ykxb(k0)的单调性

2x2,x0

例2、求证：函数f(x)

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11在区间,0上是单调增函数

x

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函数

高一数学教学案

例3、已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(13x)，求x范围

例4、已知f(x)x22(1a)x2在,4上是减函数，求实数a的取值范围

五、课堂练习：

1、指出函数f(x)x22x的单调区间

2、下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是

（1）y12，（2）yx2x1，（3）yx，（4）yx1

x23、已知函数f(x)在区间（0，）上是增函数，大小比较f(xx1),f()

。

24、已知函数f(x)=x(2a1)xa1在区间,上是单调函数，则实数a的范围是

223437

。

六、课堂小结

1、证明函数单调性的基本步骤（取值

作差

变形

定号

结论）

①

取值：在区间上任意取两个值x1,x2,且x1x2

②

作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，将差变形为几个最简因式的乘积或非负数的和，即向有利于判断差的符号的方向变形

③

定号：确定差的符号，不确定时要进行讨论

④

判断：根据定义作出结论。

2、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间。

3、求函数的单调区间常用方法是画图。

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高一数学教学案

函数的单调性（1）学案

1、若函数f(x)(k23k2)xb是减函数，则k的取值范围________ 2、函数f(x)为R上的减函数，若f(m)f(m2)0，则实数m的取值范围是多少？

3、定义域为R的函数f(x)在区间(,5)上单调递减，对于任意实数都有f(5t)f(5t)，则f(1),f(9),f(13)的大小关系为______________ 提示：f(5t)f(5t)表示yf(x)的图像关于直线x5对称

4. 函数f(x)4x2的单调增区间为______________ 5、画出函数f(x)x2x的图像，并指出单调区间

6、讨论函数f(x)x3的单调性，并证明

7、证明函数f(x)x1在(0,1)上是减函数

x

8、画出下列函数的图像并指出单调区间

x21,x0

yx1x

y2x,x0

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函数

高一数学教学案

9、已知f(x)是定义在1,1上的减函数，f(x1)f(x21)，求x的取值范围

10、已知函数f(x)x22ax2,x5,5。（1）当a1时，求f(x)的最大和最小值

（2）求实数a的范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数。

*11、已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2x)f(ax)对一切实数都成立，求实数a的取值范围

**12．讨论函数f(x)x1的单调性，并证明

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