3.4.1 函数与方程教案设计（一等奖）

函数与方程

【学习导航】 学习要求

1．了解函数的零点与方程根的关系；

2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；

3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式． 自学评价

1．一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．

2．函数与方程

两个函数yf(x)与yg(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)g(x)的解；反之，要求方程f(x)g(x)的解，也只要求函数yf(x)与yg(x)图象交点的横坐标．

3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)f(n)0，再取区间的中点pmn2，再判断f(p)f(m)的正负号，若f(p)f(m)0，则根在区间(m,p)中；若f(p)f(m)0，则根在(p,n)中；若f(p)0，则p即为方程的根．按照以上

听课随笔

方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．

【精典范例】

例1：已知二次函数yf(x)的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)三点，

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)的零点；

（3）比较f(2)f(4)，f(1)f(3)，f(5)f(1)，f(3)f(6)与0的大小关系．

分析：可设函数解析式为yax2bxc，将已知点的坐标代入方程解方程组求a、b、c．

点评：当二次函数yf(x)的两个零点x1,x2(x1x2)都在（或都不在）区间(m,n)中时，f(m)f(n)0；有且只有一个零点在区间(m,n)中时，f(m)f(n)0．

例2：利用计算器，求方程x26x70的

近似解（精确到0.1）．

x2111.833333，再将x2代入方程①右边，分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．

解法一：设f(x)x26x7，通过观察函数的草图得：

f(1)20，f(2)10，

∴方程x26x70有一根在(1,2)内，设为x1，

∵f(1.5)0.250，∴1.5x12，

又∵f(1.522)f(1.75)0.43750，∴1.5x11.75，如此继续下去，得

f(1)0,f(2)0x1(1,2)，

f(1.5)0,f(2)0x1(1.5,2)，

f(1.5)0,f(1.75)0x1(1.5,1.75)

f(1.5)0,f(1.625)0x1(1.5,1.625)f(1.5625)0,f(1.625)0

x1(1.5625,1.625)

∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x26x70的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．

点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．

分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．

解法二：将原方程写成xx276

①

取x12代入等式右边得6听课随笔

得x31.72685，……

如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4．

点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．

例3：已知函数f(x)kx2(k3)x1的图象与x轴在原点的右侧有交点，试确定实数k的取值范围．

分析：

追踪训练一

1．函数f(x)log2(x24x5)的图象与x轴交点横坐标为

（

）

）

A.1

B.0

C.2或0

D.

2

2．已知0a1则方程axlogax0的解的个数是（

）

A.1

B.

2

C.3

D.

不确定

3．直线ykx听课随笔

3与曲线y22yx3

20只有一个公共点，则k的值为（

）

A. 0，12,14

B. 0，14

C.

11112,4

D. 0，2,4

4．函数yx26x5与x轴交点坐标是

，方程x26x50的根为

．

5．已知方程x2kx20在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k的取值范围为

. 6．已知函数f(x)ax2过点(1,0)，则方程f(x)x的解为

．

7．求方程2x28x50的近似解（精确到0.1）．

8．判断方程x2(2a2)x2a50（其中a2）在区间(1,3)内是否有解．

．

学生质疑

教师释疑