3.4.1 函数与方程教学设计(第二课时)

3.4

函数的应用

3.4.1 函数与方程

课标知识与能力目标

1.结合二次函数图像，判断一元二次方程的根的存在情况. 2.了解函数零点的概念，函数零点与方程的根的联系. 3.理解函数连续区间上的零点存在性定理. 4.理解用二分法求方程近似解的思想方法.

知识点1 函数与方程

1. 函数零点的定义：对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点，注意以下几点：

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

（2）函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；

（3）一般我们只讨论函数的实数零点；

（4）求零点就是求方程f(x)0的实数根.

2. 函数零点的判断：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根.

注意：如果函数yf(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)f(b)0.

3.

二分法的概念：二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法. 注意：（1）用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间.

（2）在应用二分法求函数的变号零点的近似值x0时，从精确度出发，确定需经过多次取区间[a,b]的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求.

考点1：函数零点的概念

例1 若一次函数f(x)axb有一个零点2，则二次函数g(x)bx2ax的零点是________.

考点2 函数零点的判断

x2bxc,x0,例1 设函数f(x)若f(4)f(0),f(2)2，则函数yf(x)x的

3,x0,零点的个数为

.

考点3 函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根.

函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点.

例1 已知函数f(x)x2mxm2，则f(x)有

个零点.

例2 已知二次函数yf1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数yf2(x)的图象与直线yx的两个交点间的距离为8，f(x)f1(x)f2(x).

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解.

考点4 二分法

例1 已知函数f(x)的图象是连续不间断的，有如下的x,f(x)对应值表

x

f(x)

1 123.56 2 21.45 3 －7.82 4 11.57 5 53.76 6 －126.49 函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有

个. 3例2 用二分法求方程x2x50在区间[2,3]内的近似解，若取区间中点x0=2.5，那么下一个有解区间是___________.

能力提优

题型1：二分法思想在生活中的应用

例1 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路出现了故障，这是一条10km长的路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km长大约有200多跟电线杆子．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？