2.2.1 函数的单调性名师教学视频（文字实录）

函数的单调性（1）

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函数单调性

单调性定义

单调区间定义

求函数单调区间

单调性与图像

证明函数单调性

学习要求

1．理解函数单调性概念；

2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；

3．提高观察、抽象的能力．；

自学评价

1．单调增函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增

函数，I称为yf(x)的单调

增

区间．

注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；

⑵. 单调性、单调区间是有区别的；

2．单调减函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调

减函数，I称为yf(x)的单调

减

区间．

3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是

上升

图像；而函数在其单调减区间上的图像是

下降

的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）

4．函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设x1x2 ；

（2） 比较f(x1),f(x2)大小 ；

(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ . 【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间：

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）yx2； （2）y21； x2【解】（图略）（１）函数yx2的单调增区间为(,0)，单调减区间为(0,)；

（２）函数y1x在(,0)和(0,)上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)和(0,)．

二．证明函数的单调性：

例2：求证：函数f(x)=-1/x-1在区间（-∞，0）上是单调增函数

追踪训练一

1. 函数y11x1

(C) (A)在(1,)内单调递增

(B)在(1,)内单调递减

(C)在(1,)内单调递增

(D)在(1,)内单调递减

2. 函数yx22x8的单调增区间为

(4,1)．. 3. 求证：f(x)x1x在区间(0,1)上是减函数．

证明：设0x1x21，则x2x10,0x1x21∴f(x2)f(x1)

(x21)(x1(11)(x(xx1)x1)(x2x1)2x1)22x1x2x1x1x2

(x(x1x21)2x1)xx012即f(x2)f(x1) 故f(x)x1x在区间(0,1)上是减函数．

【选修延伸】

如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：

例３:

函数y1x在其定义域(,0)(0,)上是减函数吗？

分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的x1,x2，并加以说明．

【解】该命题是假命题；例如x11,x21时，

f(x1)1,f(x2)1，显然x1x2且f(x1)f(x2)，所以＂函数y1x在其定义域(,0)(0,)上是减函数＂是不成立的．

点评: 1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；

2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：

一、利用图像写函数的单调区间？

我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．

追踪训练

1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是

（B

）

3A．(－∞，]43C．(－∞，－]43B．[，＋∞)4

3D．[－，＋∞)42. 若函数f(x)是R上的增函数，对于实数a,b，若ab0，则有(A

) (A)f(a)f(b)f(a)f(b)

(B)f(a)f(b)f(a)f(b)

(C)f(a)f(b)f(a)f(b)

(D)f(a)f(b)f(a)f(b)

3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[2,0]，则f(x)的单调递减区间是__[1,1]______．

4. 函数y=x1，x0的单调减区间为(－∞，0). x1，x0ax11(a)在(2,)上的单调性. x22ax1ax2a12a12a1解：f(x)

x2x2x25．讨论函数f(x)设2x1x2，则(x22)(x12)0,x2x10

∴f(x2)f(x1)(x1x2)12a12a

(12a)x22x12(x22)(x12)∵(x1x2)0

(x22)(x12)ax1(ax2ax1(ax21)在(2,)上是单调减函数；

21)在(2,)上是单调增函数；

21时，f(x2)f(x1)，此时函数f(x)21当a时，f(x2)f(x1)，此时函数f(x)2

当a