2.2.1 函数的单调性优质课教案设计

函数

性质

单调性与奇偶性

【复习回顾】

1.

单调性概念：

单调增函数单调减函数

2.

判断或证明单调性的方法？

3.

奇偶性概念：

奇函数偶函数

4.

判断或证明奇偶性的方法？

5.

单调性与奇偶性的区别？

26.

f (x)=1-x|x+2|-2

7.

f (x)=x(1-x)，x>0，-x(1+x)，x<0.

8.

f(x)＝

9.

f(x) =|x| 已知函数f (x)是R上的奇函数，当x>0时，f (x)=x(1-x),求f (x)表达式.

思考：两个性质的学习过程中做过哪些题型？它们可以归结于哪类函数？

【新课讲解】

具体函数：分段函数、分式函数

抽象函数

【分段函数】

例、已知函数

是奇函数.

（1）

求实数m的值；

（2）

画出函数的f(x)的图象；

（3）

若函数f(x)在区间[2a-4, a-2]上为单调增函数，求实数a的范围.

目的：根据分段函数的定义和特点、奇偶函数的定义与性质、单调性的定义与性质，求①未知数的值；②画出函数的完整图象；③数形结合，求解参数的范围.

【分式函数】

例1.已知函数f(x)=ax2+253x+b是奇函数，且f(2)=3. (1)求实数a, b的值; (2)判断f(x)在(−∞, 0)上的单调性, 并加以证明.

练习：

函数

是定义在（-1,1）上的奇函数，且

. (1)

确定函数f(x)的解析式；

(2)

用定义证明：f(x)在（-1,1）上是增函数；

(3)

解不等式：

.

【抽象函数】

函数

性质

单调性与奇偶性

例1.定义在R上的函数f(x), 且在(−∞,0]上是减函数, 判断f(x)在[0,+∞)上的单调性. (1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是偶函数.

结论：奇函数在关于数“0”对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于数“0”对称的区间上有相反的单调性.（简记为“奇同偶异”）

引申:设奇函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞), 且f(x)在(0.+∞)上是增函数, f(1)=0, 解不等式f(x)<0. 方法：根据奇偶函数的单调性与图象的对称性特点，画出满足题意的抽象函数的草图，进而数形结合，求解不等式.

练习：

（1）定义域为[– 2，2]上的奇函数f(x),且f(x)在x≥0时为增函数，若f(m) + f(m

– 1)>0,求m的取值范围. （2）定义域为[– 2，2]上的偶函数f(x),且f(x)在x≥0时为增函数，若f(m) > f(1 –

m),求m的取值范围.

结论：对于奇函数，可以直接根据整个定义域上的单调性，转换对应自变量的大小关系；

对于偶函数，由于图象关于y轴对称，根据单调性，转换为自变量到原点的距离（绝对值）.

设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=2，且对于任意x1、x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有

f(x1)—f(x2) > x1—x2，求不等式f(x)> x的解集.

方法：根据条件构造出新函数，进而利用新函数的单调性与奇偶性求解问题.

例2.已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)=f(x1)−f(x2), 且当x>1时, f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)求证：f(x)在(0, +∞)上是减函数; (3)若f(3)=−1, 解不等f(|x|)<−2.

变式：已知函数f(x)对任意的x, y∈R, 都有f(x)+f(y)=f(x+y), 且当x>0时, f(x)<0, f(1)=−23. (1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[−3,3]上的最大值与最小值.

结论：利用抽象函数的性质判断抽象函数的单调性和奇偶性时，应根据题目特征，对变量进行恰当赋值，紧扣单调性和奇偶性的定义.

对于抽象函数单调性和奇偶性的判断，由于没有具体的解析式，因此要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x),f(-x)的式子，再利用单调性和奇偶性的定义加以判断.

判断函数奇偶性的两个方法：

定义法：利用函数奇偶性的定义判断；

图象法：根据函数图象的对称性来判断；

解抽象函数不等式的四个步骤：

1、

转化：利用奇偶性转化成f(M)>f(N)的形式；

2、

确定：确定函数的单调性；

3、

去f：去掉“f”，转化为M>N或M

4、

解：解不等式（组），不要忘记函数定义域的限

函数

性质

单调性与奇偶性

制.

判断函数单调性的方法：

定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；

图象法：用描点法或利用对称性作出函数f(x)的图象，结合图象写出f(x)的单调区间；

转化法：有些函数可以转化为已经学过的基本初等函数；

运算性质法：四则运算；

复合法则：同增异减

奇偶函数的单调性的对称规律在不同区间上的自变量对应的函数值的比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量取值在关于数“0”对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间，再根据单调性判断.

（1）、分段函数的奇偶性的判定与分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下所对应的解析式的不同形式以及它们之间的关系; （2）、判断分段函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称；

（3）若判断函数不具有奇偶性，只需举出一个反例即可；

（4）若能画出分段函数的图象，利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性，是一种非常简单的方法.

具体函数的奇偶性

含参函数的奇偶性

奇偶性与单调性的应用：1、函数值的转化问题；2、不等式问题；3、函数值大小问题

10.

f (x)=1-x2|x+2|-2

11.

f (x)=x(1-x)，x>0，

-x(1+x)，x<0.

12.

f(x)＝

13.

f(x) =|x| 14.

f(x) =

1、函数

的单调减区间为____________.

2、已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，

f(x)=x(1-x),求f(x)表达式.

设函数f(x)= mx2－2x+3在[－1，+∞)上单调递减，则实数m的取值范围是___________.

若f(x) = ax2 + bx + 3a + b为偶函数，定义域为[a –

3，2a]，则a=_________, b=__________.

若定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则f(3)，f(-4), f(π)的从大到小的关系为______________.

一、说出下列函数的单调区间：

（1）、f(x)=

；

（2）、f(x) =

.

二、判断下列函数的奇偶性：

2（1）、

f (x)=1-x|x+2|-2 （2）、f (x)=

函数

性质

单调性与奇偶性

例：

函数

.

(4)

确定函数f(x)的解析式；

(5)

用定义证明：f(x)在（-1,1）上是增函数；

(6)

解不等式：

.

是定义在（-1,1）上的奇函数，且