2.2.1 函数的单调性教学设计第一课时

《函数的单调性》

一、背景分析

（一）学习任务分析

本节课主要学习函数的单调性概念的形成及其初步应用。其中，函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础．函数单调性的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，为进一步探索、研究函数的其他性质如值域、奇偶性、周期性提供了方法和依据。

本节课中，学生将经历“直观感知——文字描述——严格定义”的认知过程，在问题的带动下，进行主动的思维活动，展开函数单调性概念的学习。经历从从直观到抽象，从特殊到一般的思维过程，体会数形结合、归纳、类比、抽象概括等数学思想方法在解决问题中的作用。

“原大纲”教材对本节概念的要求是：了解增（减）函数的概念；而“新课标”教材对本节概念的要求则是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性。通过对比，我将本节课的教学重点确立为：增（减）函数的形式化定义的形成。突出方法：充分运用信息技术手段，多给学生操作与思考的空间。

（二）学生情况分析

1、知识基础

学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象，对增减性有了一个初步的感性认识，这为学生学习函数的单调性做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

2、能力水平

单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。

3、问题和困难

本节课要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难。

教学难点：1、增（减）函数的形式化定义的形成。

突破方法：充分运用信息技术手段，多给学生操作与思考的空间。

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2、用定义证明函数的单调性。

突破方法：帮助学生归纳证明函数单调性的基本步骤，同时对函数的复杂程度加以控制。

二、教学目标设计

《课程标准》指出本节课的学习目标是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；学会运用函数图像理解和研究函数的单调性。

结合《课程标准》要求和学生实际，确立本节课的教学目标为：

（1）使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

（2）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，逐步培养学生观察、归纳、抽象概括的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，逐步提高学生的推理论证能力。 （3）让学生亲身经历数学概念的发生与发展过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

三、课堂结构设计

本节课是一节概念教学课，从数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念出发，结合本节课知识的特点，我按以下过程安排本节课的教学。

创设情境，引入课题

直观感知

文字描述

严格定义

运用图象，利用定义

（约需3分钟）

归纳探究，形成概念

（约需20分钟）

自我尝试，运用概念，自我尝试，运用概念

（约需10分钟） 辨析讨论，深化概念

判断正误，加深理解

（约需3分钟）

总结反思，提高认识

（约需3分钟）

布置作业，自主探究

（约需1分钟）

四、教学媒体设计

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1、多媒体辅助教学：

充分利用多媒体教学课件的动态演示效果和直观性，帮助学生顺利从形象思维向抽象思维过渡，同时增加课堂容量。

2、学生自备学具：

课前要求每个学生准备一个计算器，以便处理分析数据。

3、设计科学合理的板书

为使学生对本节课的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书。

如：

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（一）

1、增函数的概念： 例1 练习1

2、减函数的概念： 例2 五、教学过程设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为以下六个阶段：

（一）

创设情境，引入课题

[问题情境]（播放中央电视台天气预报的音乐）。如图为银川市某一天24小时内气温变化图：

引导学生观察图象的升降变化

[设计意图]

激发学生的学习兴趣促进其主动探究。

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

[设计意图]启发学生由图象获取函数单调性及单调区间的直观认识，从而引入新课。

请学生举出生活中我们关心的很多数据变化（如燃油价格，股市走势等），引导

学生归纳：这些数据的变化，用函数观点看，其实就是先找出函数取得最大（小）值时的界点，在定义域的某个子区间内随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。

（二）归纳探索，形成概念

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在本阶段的教学中，为了使学生充分感受数学概念的发生与发展过程，体会数形结合的数学思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性本质的认识，设计以下三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识。

1、借助图象，直观感知

问题2：请说出函数yx的图象的变化趋势。

问题3：你能描述一下函数yx2的图象的升降规律吗？

[设计意图]针对这两个问题，使学生体会不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。

本环节的教学主要是从学生已有的认知出发，通过学生熟悉的常见函数的图象，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识。

2、探究规律，理性认识

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此，设计

问题4：结合图表，进一步认识“yx2的图象在y轴右侧是上升的”，并用自然语言来描述这种特征。

针对问题4，学生可能会出现“卡壳”现象，可安排以下活动提供必要的帮助和指导

活动一：如图，指导学生完成yx2的对应值表，并引导学生观察表格中，自变量x的值从0到4变化时，函数值y如何变化。

x

…

-4 16 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 …

…

f(x)x2

…

活动二：利用几何画板事先画好函数yx2的图象，在y轴右侧的函数图象上任找一点M并测出其坐标，当点M在函数图象上按横坐标（即自变量）x增大的方向移动时，引导学生观察点M的纵坐标（即函数值）y的变化规律。

yMx = 1.37Oxy = 1.88

[设计意图]以上两个活动，让学生通过体验，亲自获得“在一个区间内自变量x增大时函数值y增大”这一变化规律后，再给出增函数的自然语言表述。这样做共 9 页 第 4 页

使学生觉得自然，并且印象深刻。这样学生就顺利地将函数的单调性研究从图形语言表述过渡到用自然语言表述，把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，从而完成对单调性定义的第二次认识。

3、抽象思维，形成概念

本环节是在前面研究的基础上，再引导学生运用数学符号语言将自然语言的描述提升到形式化的定义。使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程,完成对单调性定义的第三次认识，提出

问题5：请将问题4中的自然语言翻译成数学符号语言，即如何用数学表达式表示f(x)x在[0,)上的增减性？

问题5是形成单调性概念的关键，在教学中，我组织学生操作确认、合作探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识。

“课标”指出，在数学课程设计与实施中，要充分使用计算器和计算机等现代化教学手段，促进学生积极参与数学活动。

同时为了更好地完成问题5这个任务，安排如下

活动三：请全班每位同学在[0,)上任意取两个不同的值x1,x2，当x1

让学生结合函数单调性的自然语言描述，表述自己发现的规律；期望学生或引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x12x2时，都有f(x)f(x)”。进而引导学生得12出结论：单调区间内，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大； 最后引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义。有了对增函数的系统研究做基础，下面可以用类比的方法学习减函数。直接提出

问题6：类比单调增函数的定义，你能给出单调减函数的定义吗？

最后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调,完成单调性和单调区间概念的整体表述。

（三）自我尝试，运用概念

例1（1）你能找出引例气温图中的单调区间吗？

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（2）请说出以下三个你学过的函数的单调区间．

yyOOxxf(x)=-2x+2f(x)=x2+2x-1

[设计意图]例1（1）与教材中的例1本质相同，但我认为它更贴近生活，更能激发学生的学习兴趣。例1（2）是在学生已有的认知结构基础上提出新问题，让学生在动手、观察、讨论中直观的了解关于单调区间的四个要求：1、前两个函数是连续的，定义域是全体实数；第三个函数是不连续的，定义域有间断点。2、第二个函数在驻点两边增减性有变化，另外两个函数的单调性在其定义域内没有变化。3、单调区间是定义域或定义域的一个子集。4、判断函数的单调性，应先找到函数取得最大最小值时的界点，驻点将定义域分隔成的若干个子区间，就是函数的单调区间。

通过例1，学生可以达到本节课的教学目标之一：运用图象判定函数的单调性及单调区间．根据解析式，怎样去判定函数的单调性呢？设计

例2 证明f(x)2x在区间(0,)上是单调减函数．

教材中的例2要求用函数的单调性证明物理学中的玻意耳定律，我直接抓住了函数的本质，把例2改写成现在的形式，降低了难度，节省了教学时间。当然教材中设计的例2还有两个意图：1、数学的实践性。2、换元思想。这虽然是重点但不是本节课的重点，如果时间充足我会加以说明，反之，则留到后面内容再作渗透。

证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤。

1、难点突破

2f(x)x对于函数单调性的证明，由于前面有对函数在[0,)上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值，因此学生的难点主要是：1、不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小。2、f(x1)与f(x2)求差后的变形方向以及变形的程度，问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,为什么变形，不知道变形的目的是为了判断差式的正负；另一方面部分学生变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论。

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针对这两个问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾初中学过的比较两个实数的大小的方法（若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b），使学生明确此时可以通过求差值的正负，转化为比较两个函数值的大小，进而明确变形的主要思路是对差式进行因式分解或配方后，就可以判断差式的取值符号。

2、详细板书

证明：

任取

所以

函数f(x)2x

在(0,)上是减函数

x1xx1,x2(0,)且设元（注意单调区间）

f(x1)f(x2)22x1x2求差

2(x2x1)x1x2变形（因式分解或配方）

由x,x12(0,)，

0得xx12， 断号

12又由x1x2，得x2x10，

12于是f(x)f(x)0，即

f(x)f(x)，

定论

3、归纳步骤

在板书的基础上，引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论)，通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，对于第一步，提醒学生注意题目中给定的单调区间，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的目的，帮助学生掌握方法，逐步提高学生的推理论证能力。

（四）辨析讨论，深化概念

如果学生在前面的环节中学习效果不错，则安排以下任务，反之或时间不够则留到下节课进行，本环节机动处理。

判断正误：

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1、因为函数减函数。

f(x)1x在(,0)和(0,)上都是减函数，所以f(x)1x在(,0)(0,)上是2、已知函数f(x)=因为f(-1)

1x3、若函数f(x)满足f(2)

4、若函数f(x)在（1，2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)=在(1,3)上为增1x函数。

通过对判断题的讨论，从以下几个方面继续加深学生对定义的理解：

1、单调区间是定义域或定义域的一个连续的子区间。

2、用定义法讨论的是在一个单调区间上函数的增减性。

3、x1,x2是该区间上的任意两点，没有特殊性。

4、都有f(x1)-f(x2)>0(或<0)的推理证明。

（五）总结反思，提高认识

（1）通过增（减）函数的概念的形成过程，你学习到了什么？

（2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？

（3）怎样用定义证明函数的单调性？

学生发言，互相补充，教师进行点评。

通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、数学思想方法有了更加全面深刻的认识，同时为下一节的学习提供改进方向。

（六）布置作业，自主探究

（1）阅读课本P27－29 （2）书面作业：教材 P39 1、2、3、4 （3）探究：函数yx在定义域内是增函数，函数y1x1yxx的单调性如何？请证明你得到的结论。

这两个基本函数构成的函数有两个单调减区间，由在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对函数单调性概念的共 9 页 第 8 页

理解和应用，为后续学习打好基础。其次，根据学生课堂实际接受效果，又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学探究，以便让不同程度的学生都有收获，本题机动处理。

六、教学评价设计

为了更好的贯彻激励性评价原则，不但要关注学生的学习结果，更要关注其学习过程。通过以下几种方式对本节课进行教学评价：

1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺

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