4 利用轴对称进行设计优秀教案板书设计

华章文化

第五章

生活中的轴对称

5.1

轴对称现象

新教案

1.感知生活中的轴对称现象，探索轴对称的共同特征.

2.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.

2.通过大量的实例初步认识轴对称，能识别简单的轴对称图形和成轴对称的图形及其对称轴.

自学指导

阅读教材P115～116，完成下列问题.

(一)知识探究

1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

2.对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.

3.如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.

(二)自学反馈

1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是( A )

2.下面给出的四组图形中，成轴对称的是( D )

判断是否成轴对称要看是否能沿着某条直线折叠后重合.

活动1

小组讨论

例1

下列两个图形是轴对称关系的有ABC.

轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，而轴对称是两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，注意两者的区别.

例2

小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到一个三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案，她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有( B )

A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条

对称轴是一条直线.

活动2

跟踪训练

1.下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形.

解：C和D，B和F.

2.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴.

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新教案

解：(1)有2条对称轴；(2)有4条对称轴；(3)有5条对称轴；(4)有3条对称轴，

如图所示：

活动3

课堂小结

1.可用折叠判断是否为轴对称图形.

2.对称轴是一条直线，一条垂直于对应顶点连线的直线.

3.轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形.

5.2

探索轴对称的性质

1.掌握轴对称的性质.

2.会画出已知轴对称图形的另一半.

自学指导

阅读教材P118～119，完成下列问题.

(一)知识探究

轴对称的性质：

(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

(2)对应线段相等，对应角相等.

(二)自学反馈

1.如图是轴对称图形，则相等的线段有AB＝CD，BE＝EC，相等的角是∠B＝∠C.

2.把图中(实线部分)补成以虚线l为对称轴的轴对称图形.

解：如图所示.

可先作出各点的对称点，再顺次连接各点就得到所求图形.

活动1

小组讨论

例

如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC＝125°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.

(1)试写出EF，AD的长度；

(2)求∠EFG的度数；

(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？

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新教案

解：(1)因为四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AB＝3 cm，EH＝4 cm，

所以EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm.

(2)因为∠ABC＝125°，所以∠EFG＝125°.

(3)因为对称轴垂直平分对称点的连线，

所以直线MN垂直平分BF.

活动2

跟踪训练

1.如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下列说法错误的是( D )

A.OB＝OD

B.AC平分∠BAD C.BD⊥AC D.OA＝OC

2.如图，正方形ABCD的面积为16 cm，则图中阴影部分的面积为( B )

22 2 2 A.4 cm B.8 cmC.12 cm D.6 cm2

利用轴对称性把阴影部分移到对称轴的同一边，即可发现阴影部分面积为全部面积的一半.

3.如图，请在网格纸上，画出所给图形关于直线l对称的图形.

解：如图所示.

活动3

课堂小结

1.在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.

2.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.

3.成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上. 5.3

简单的轴对称图形

第1课时

等腰三角形的性质

1.理解等腰三角形的有关概念.

2.探索并掌握等腰三角形的性质.

3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质.

自学指导

阅读教材P121，完成下列问题.

(一)知识探究

1.等腰三角形是轴对称图形.

2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰www.sjhzhb.com

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三角形的对称轴.

3.等腰三角形的两个底角相等.

4.等边三角形有三条对称轴，等边三角形每条边都相等.

(二)自学反馈

1.下列说法中，正确的有( D )

①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.△ABC中，AB＝AC.

(1)若∠B＝45°，则∠A＝90°，∠C＝45°；

(2)若∠C＝60°，则∠A＝60°，∠B＝60°.

活动1

小组讨论

例1

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.

解：因为AB＝AC，∠A＝40°，

180－∠A所以∠ABC＝∠C＝＝70°.

2因为BD是∠ABC的平分线，

1所以∠DBC＝∠ABC＝35°.

2所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝75°.

例2

如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？

解：如图，作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置.

理由：两点之间线段最短.

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

活动2

跟踪训练

1.如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则下列说法正确的是( D )

A.l垂直AB B.l平分AB

C.l垂直平分AB D.l与AB的关系不能确定

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新教案

2.已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为50°.

3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.

解：因为PA＝PQ＝AQ，

所以∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.

因为PA＝PB，

所以∠B＝∠PAB.

又因为∠B＋∠PAB＝180°－∠APB＝180－(180°－∠APQ)＝60°，

所以∠PBA＝∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°.

所以∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC

＝30°＋60°＋30°

＝120°.

活动3

课堂小结

在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决相关问题能起到事半功倍的效果.对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了. 第2课时

线段垂直平分线的性质及画法

1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.

2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质.

自学指导

阅读教材P123～P124，完成下列问题.

(一)知识探究

1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

(二)自学反馈

1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P是直线CD上的一点.已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( B )

A.6

B.5

C.4

D.3

12.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是( D )

2A.∠A的平分线 B.AC边的中线

C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线

活动1

小组讨论

例1

如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长.

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新教案

解：因为DE是AC的垂直平分线，

所以AD＝CD，AC＝2AE＝6(cm).

因为△ABD的周长为13 cm，

所以AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13 cm.

所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm).

由垂直平分线的性质得AD＝DC，再通过线段之间的等量代换即可得出△ABC的周长.

例2

某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等.在图中确定休息点M的位置.

解：作AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求.

活动2

跟踪训练

1.如图，已知直线MN是线段AB的中垂线，垂足为N，AM＝5 cm，△MAB的周长为16 cm，那么AN等于( A )

A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm

2.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

1①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

2②作直线MN交AB于点D，连接CD.

若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为( D )

A.90° B.95° C.100° D.105°

活动3

课堂小结

本课时主要学些了哪些知识与方法，有何收获和感悟？

(1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形.

(2)线段的垂直平分线的性质

内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离



相等.作用：见垂直平分线，得线段相等.(3)线段垂直平分线的作图.

第3课时

角平分线的性质及画法

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新教案

1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.

2.探索并掌握角平分线的有关性质.

自学指导

阅读教材P125～P126，完成下列问题.

(一)知识探究

1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

(二)自学反馈

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( D )

A.角

B.等边三角形 C.线段 D.直角三角形

2.如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D，E为垂足.

(1)若∠1＝∠2，则有CD＝CE；

(2)若CD＝CE，则有∠1＝∠2.

活动1

小组讨论

例1

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.试说明：OE＝OD.

解：因为AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC，

所以OE＝OD(角平分线上的点到角两边的距离相等).

角平分线的性质是说明线段相等的另一个途径，其前提条件有两条：(1)角平分线；(2)垂直.

例2

如图，已知线段a和∠AOB.

(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；

(2)作∠AOB的平分线.

解：(1)点P为所求作.

(2)OC为所求作.

角平分线的作图依据是“SSS”.

活动2

跟踪训练

1.如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，ED与EC的长度关系为( B )

A.ED＞EC B.ED＝EC C.ED＜EC D.无法确定

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2.如图，已知∠AOB.小明按如下步骤作图：

①在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；

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1②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；

2③作射线OC.

根据上述作图步骤，回答下列问题：

(1)写出一个正确的结论：OC为∠AOB的平分线；

(2)如果在OC上任取一点M，那么点M到OA，OB的距离相等.

依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

活动3

课堂小结

在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法，在已知角平分线的条件下，也可想到翻折的方法.

5.4

利用轴对称进行设计

1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图的过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步审美能力，增强对图形欣赏的意识.

2.能按要求把所给出的图形补成以某条直线为对称轴的轴对称图形，能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形.

自学指导

阅读教材P128～129，完成下列问题.

(一)知识探究

轴对称的性质：

在轴对称图形中：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等.

(二)自学反馈

要在一块长方形的空地上修建一个共坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有( A )

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

活动1

小组讨论

例1

如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半.

题图

答案图

解：如图所示.

例2

如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

(2)涂黑部分成轴对称图形.如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙)

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新教案

解：不同涂法的图案例举如下.

活动2

跟踪训练

把下列各图补成以l为对称轴的轴对称图形.

解：如图所示.

活动3

课堂小结

本节课学习了已知对称轴和一个点如何画出它的对应点，以及如何补全图形，并利用轴对称的性质知道如何设计轴对称图形.

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