3.1 勾股定理第一课时教学实录

17.1勾股定理教学设计

教材分析“勾股定理”是人教版8年级下册第17章的教学内容，在几何中占有非常重要的地位，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，它是第一个将数与形密切联系起来的定理，有着丰富的历史背景。

整节课的探究是从地板中等腰直角三角形出发----到网格中直角三角形---- 到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程，以“问题情境——分析探究——观察猜想——实践验证——理论证明-----实际运用

”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，以一个创造者或发明者的身份去探究知识，真正成为学习的主体。

我国对勾股定理的研究比其它国家要早，通过对我国古代研究勾股定理的介绍，培养学生的民族自豪感，和学习数学的自信心，与十九大的精神之一文化自信不谋而合。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为探索并证明勾股定理。

学情分析

本班学生整体素质较高，基本功较扎实，经过课前预习，微课讲解，大部分学生能理解赵爽的证明方法。但对于切割拼接的方法还有待提高，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，增强自信。

教学目标

知识与技能：

1.了解并掌握勾股定理的内容，体验勾股定理的探索过程，会利用拼图验证勾股定理，感受数形结合的思想，体会切割拼接前后图形的面积不变来构造等式。

2.了解勾股定理的文化背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，激发学生热爱祖国的情感，增强民族自信。

过程与方法：

1

3.以问题情境——分析探究——观察猜想——实验验证——理论证明-----实际运用

”为主线经历一次由特殊到一般的探索过程，发展合情推理能力．感受数学思维的严谨性。

4.经历师生互动，生生交流，小组试验，小组讨论，个体质疑和表述过程，提高试验操作能和口头表达能力。

情感与态度：

5.通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国的情感，增强民族自信。

6.在探索勾股定理的过程中，合作实验，合作学习，培养合作意识和探索精神。有处于增添同学们之间的情感，增强协同做事的能力。

教学重点：探索和证明勾股定理

教学难点：用拼图方法证明勾股定理

教学策略本节课主要由8个问题串联面成，8个问题层层递进，由特殊到一般，引导学生采用观察思考、动手实验、大胆猜想、合作探究的学习方法，使学生主动获得知识的同时也发展了综合能力．在教学中通过7张ppt，先从原始地板开始，让三个正方形的颜色逐渐加深，让学生发现图形中引藏着面积的关系，从而得到三边的关系即等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。再引导学生观察网格背景下正方形的面积关系，再把这种面积关系转化为三边的关系，最后再让学生亲自动手实验，进而得出实验结论，再从理论上进行严格的证明

，学生再一次动手操作，在互动合作中成长，收获新知，同时也体会到科学探索的严谨。

教学课时

1课时

教学准备

全班同学一起制作40个全等的直角三角形，磁铁

信息技术支持，几何画板，爱剪辑，暴风影音，微课设备

2

网址链接https://wenku.baidu.com/view/7e84f76cfad6195f312ba6e6.html https://baijiahao.baidu.com/s?id=1581885215461282396&wfr=spider&for=pc 等

课前预习课本，并观看微课

教学过程

一．创设情境，提出问题

开课活动：一段宇宙外太空视频

师：视频短片（浩瀚的宇宙中，是否有外星人呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形。如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言的，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派也发现了这种关系。勾股定理还有个很洋气的名字叫毕达哥拉斯定理，因为欧州人认为这个这理是他发现的，相传在2500年以前，有一次，毕达哥拉斯去他朋友家做客，被朋友家的地板所吸引）

设计意图：通过视频短片对学生视觉上的冲击，增强了学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣。在短片结尾处很自然地把话题过渡到地板上。

问题1 到底是一块什么样的地板呢，我们来看一看，假如当时你也在他朋友家做客，你有什么发现呢？

生：我发现这个图形全是由小的等腰直角三角形组成的，而且每4个直角三角形组成一个小正方形

3

师：很好，哪位同学还有没有其它发现呢？

生：可能没有发现

师：魏老师给你一点点提示，注意观察屏幕，有发现的同学举手。

生：举手的人数多了起来

师：请你回答

生：我发现红色正方形的面积等于黄色正方形面积+蓝色正方形面积

师：（棒）为什么？

生：因为红色的正方形是由4个全等的直角三角形组成的，而黄色的正方形有2个，蓝色的正方形也有2个

师：棒！你有一双善于发现的眼睛，正所谓生活中从不缺少数学，只是缺少善于发现的眼睛，老师为你点赞

生：（鼓掌）

设计意图：通过7张ppt，先从原始地板开始，学生可能没有发现地板中引藏的数学问题，然后让三个正方形的颜色逐渐加深，慢慢发现图形中引藏着面积的关系同学越来越多。为下一步探讨直角三角形三边的关系埋下铺垫。

问题2如果把这个三个正方形分别记为A,B,C你能用数学语言表达出来吗？

生：Sa+Sb=SC

追问：正方形的面积公式是什么？

生：边长的平方

设计意图：让学生认识到面积与边的关系。逐渐将面积问题转为边的关系。

问题3由这三个正方形A,B,C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？

生：等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

设计意图：先从特殊的等腰直角三角形入手，切入学生的认识区，为后面一般的直角三角形做准备

4

问题4

对于任意直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形P、Q、R 是否也有类似的面积关系？（注：图中每个小方格代表一个单位面积）

生：正方形P的面积为

9

师：你是怎样得到的

生：正方形P的边长为3，3的平方等于9

生：正方形Q的面积为

16

正方形R的面积为

师：你是如何得到正方形R的面积的？

生：（上台一边画图一边讲解）我是采取补的方法，…这样正方形R的面积就等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积。即

72-4×1/2×4×3=25

师：回答的非常好！请坐，哪位同学还有没有其它方法？

生：我采取的是割的方法，…这样可以把正方形分割成4个全等的直角三角形和一个正方形，这样正方形R的面积就等于4×1/2×4×3+1=25 师：很棒！割补法求面积在是一种非常重要的思想方法，大家一定要牢牢掌握！

5

追问：观察所得到的数据，你有什么发现？

生：SP+SQ=SR

师：如果将这三个正方形移走，请问这个直角三角形三边

之间有何关系？

生：这个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

师：回答的非常正确，请坐下，对于这个直角边分别为3，4 的直角三角形确实满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么对于任意的直角三角形是否也满足呢？

设计意图：从特殊的等腰直角三角形过渡到网格中一般直角三角形，渗透从特殊到一般的数学思想，.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移，为后面一般的直角三角形作铺垫。

合作探究，解决问题

两人一组，一位同学在纸上画出任意的一个直角三角形，并测量出每条边的长度，另一位同学分别计算出两条直角边的平方和与斜边的平方

实验次数

直角边a 直角边b 斜边c

①

②

③

④

……

6

a2+b2

C2

a2+b2与C2有何关系

师：完成实验的小组请举手，请你汇报一下实验数据

生：我们小组画的直角三角形两条直角边a,b分别为

，斜边c为

a2+b2=

，C2=

生：

生：

师：观察a2+b2与C2有何关系？

生：我发现a2+b2=C2或a2+b2≈C2 师：其它小组是否有类似的发现？

生：是的

师：分析实验数据，你大胆猜想能出什么结论？

生：我猜想如果直角三角形两条直角边分别为a,b ,斜边为c，那么a2+b2=C2 师：板书:猜想如果直角三角形两条直角边分别为a,b ,斜边为c，那么a2+b2=C2 师：同意他观点的同学请举手，这位同学没举手，你有什么补充的吗？

生：我认为还不能确定，因为实验的次数太少了，有可能是他运气好，画的几组刚好满足。

师：这位同学回答的太棒了，这样，魏老师用电脑帮大家做做实验（几何画板动态展示）

师：我们刚才可能做了成千上万次实验，都是成立的，但还有一万零一次，一万零二次，怎么办呢，所以要想说明任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方必须从理论上进行严格的证明，怎么证明呢？

7

设计意图：从网格中的直角三角形过渡到任意的直角三角形，渗透从特殊到一般的数学思想，通过亲自动手操作，经历试验过程，大胆猜测，再质疑，再到电脑验证，再到后面的理论证明，体现出了科学探索的一般过程，也体现出了数学的严密性，培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．

在课前发给大家的微课中，介绍了我国汉代的数学家赵爽用了一种非常巧妙的方法证明了

勾股定理，我们一起来回顾一下

每次看完这个视频，我的感觉都是不一样，第一，对古人的智慧感到由衷的敬佩，第二，做为一个中国人，我感到无比的自豪，3000多年前就有这么巧妙的方法证明勾股定理，要知道，当时古希腊的毕达哥拉斯还没出生呢，500多年以后他才出生，所以可见当时中国在数学方面的成就是遥遥领先的。第三，我要求我们每位同学认真学习，努力钻研，为实现中华民族的伟大复兴贡献出自己的力量，早日实现我们的中国梦-----这样经过推理论证的真命题叫定理。那既然是定理为什么刚才实验中有的小组不满足a2+b2=C2呢？哪位同学能解释一下

生：因为我们物理学过实验会产生误差，而且我们用的刻度尺精确到毫米，如果有更精确的仪器，误差会更小

师：这位同学讲的真好，做实验就会产生误差，这是正常的，这反而说明了我们科学探索的严谨。

设计意图：通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国的情感，增强民族自信和自豪感。同时反过来再观察试验的结果，为什么会出现这种情况，在质疑中成长，收获。

师：接下来，我们来看一张图片，这是2002年国际数学大会是北京召开，国际数学大会相当于数学界的奥林匹克，当年的会徽，大家看看是什么图形？

生：赵爽弦图

师:现在每人拿出课前准备的全等的直角三角形，（假设两直角边分别为a,b，斜

8

边为c）

问题5你能用四个全等的直角三角形拼出大会会标吗？

问题6你能否用你所拼出的图形来证明a2+b2=c2？（小组合作）

师：准备好的小组请举手

生：上台展示

大正方形的面积可以表示为

c2

；

也可以表示为

(b-a)2+4×1/2ab 1所以c24ab(ba)22

所以a2+b2=c2

师：讲的好不好？

生：好

师：掌声送给他们

问题7你还能拼出另外的图来证明a2+b2=c2

吗？小组探讨

生：大正方形的面积可以表示为

(a+b)2

也可表示为c24ab

12abc24ab

212所以a2+b2=c2

师：讲的很棒，不要吝啬你们的掌声哟

设计意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，使学生对定理的理解更加深刻，体会了数学中的数形结合思想．

调动了学生的积极性，激发学生探求新知的欲望．感受了合作的重要性．

师：拼一拼

试一试：你还有其它的证明方法吗？

可以借助网络查一查勾股定理的历史文化及证明方法

生：我查询到了一种超级简单的方法

9

师：请上台展示

生：我这种方法只需2个全等的直角三角形就可以证明，作一条辅助线，这样变成了一个梯形，

1梯形的面积可以表示为（ab）(ab)

2梯形的面积也等于两个全等的直角三角形与一个边长为c的等腰直角三角形的面积之和，所以梯形的面积还可以表示为2abc2

111(ab)(ab)2abc2222

1212所以a2+b2=c2

师：这种方法非常简单明了，老师采访一下，这个方法是自己想出来的还是借助网络？

生：这是我在网上看到的，它是美国的一位总统证明的方法，不过，我消化吸收，自己理解了。

师：这位同学学习能力很强，能够把别人优秀的东西转化为自己的，也非常了不起，老师为你点赞

师：这位同学举手，有什么问题

生：我还知道背后的故事

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，看见两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，有个小男孩说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，

10

心理很不是滋味．

于是伽菲尔德不再散步，立即回家．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．

师：讲的很好，连总统都这么努力，我们还有什么理由不努力呢

生：举手

师：请说

生：通过上网我还知道……

生：我上网查询知道……

师：勾股定理的魅力真是太大了，有关它的历史故事和证明方法还有很多，由于时间的关系，我们课后再探讨

设计意图：学生通过网络各抒己见，气氛活跃，引起一段争相发言的小高潮，开阔了学生的视野，丰富了勾股定理

的内涵。

拓展外延，应用问题--感受数学之美

师：我们常说，数学来源于生活，数学反过来又应用于生活，接下来我们一起来欣赏一下勾股之美

图1，这是万科房地产公司的logo,班上有哪些同学家住的是万科的房子？万科是房地产中龙头企业，从它的logo来看，它还是很有文化底蕴的

图2，这种设计的时针大家见过没有？

生：没有

师：这是我自己设计的，只有懂的人才知道它的美，如果能量产，我相信一定会畅销

图3这种沙漏大家见过没有？

师：我们知道体积等于底面积×高，当高一定时，影响体积的就只有面积。希望

11

我们同学中以后有人，早日把它做成产品，小孩子一定会超级喜欢

图4大家看看这是什么树？

生：圣诞树

师：美不美？

生：我们数学界有一种树比圣诞树还要美，

师：勾股图案的发光树目前市面上还没有，同学们好好学习，将来谁要能够在商场外打造这样一颗发光树，绝对超级火爆。

设计意图：让学生感受勾股之美，了解丰富变幻的图形世界，感受有关勾股图形的魅力

小结

1.这节课有什么收获？

生：

2.在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程

？

生：

设计意图：通过小结为学生创造交流的空间，调动了学生的积极性，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦．

作业

1.课后思考题如图，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么? （必做）

2.课后收集勾股定理有关历史文献和证明方法，你能从中领悟什么？下节课展示

12

设计意图：针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，让感兴趣的学生课后探索，感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。给学生留有继续学习的空间和兴趣

教学反思

本节课我以8个问题为导向，层层递进，逐渐深入

引导学生发现

引导学生猜想

引导学生实验

引导学生证明

然后通过网络扩展延伸，挖掘勾股的内涵

最后欣赏勾股之美

本节课通过课前制作微课，动画，网址链接等载体吸引了学生的兴趣的同时，又有效地突破了难点。然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动，将知识的获取与能力的培养置身于形式各异的探索经历中，发展了学生的实践能力及创新意识。培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力，语言表达能力……

通过对我国古代研究勾股定理的介绍，培养学生的民族自豪感，和学习数学的自信心，与十九大的精神之一文化自信不谋而合

最后通过勾股之美将整节课推向了高潮，通过万科的logo，时钟，沙漏，勾股树等，让你学生感受数学之美就在身边。体现数学来源于生活，又反过来运用于生活

，充分体现了数学的应用价值。

在本节课中我重点引导学生体会对科学探索的严谨，做实验的态度，实验，猜想，到证明，不能犯以偏概全的错误，在第一次实验的时候，我实际上准备了2种方案，第1种就是用刻度尺量，

实验次数

直角边a 直角边b 斜边c a2+b2

C2

①

②

③

④

……

13

a2+b2与C2有何关系

第2种方案要求在格点上画出三角形

对比：第1种方案用刻度尺量，速度较快，也最贴进学生的认知发展区，也是学生现阶段的本能反应，会首先想到就是量，类比三角形的内角和180度，当时也是先量一量，虽然实验是会存在误差，但恰恰这种误差体现出科学探索的真实性，严谨性。

第2种，如果学生将直角形画在格点上，通过面积法，一定能验证直角边的平方和等于斜边的平方，和地板中的数学也能承接下来，但实际操作中，我采访了一些学生，一些学生并不会真正去求斜边为边长的正方形的面积，而直接就说等于两直角边的平方和，另一些学生可能在求斜边的面积时还是会去量，可能量更符合学生的认知发展规律。

经过对比，我还是选择了方案一

最后感谢各位领导百忙之中，评我的课，给我指导，帮我进步，感谢！

2018.1.8

14