3.4.2 函数模型及其应用ppt课件课堂实录

高三二轮专题复习:应用性问题

所谓应用题就是指有实际背景或问题,及实际意义的数学问题。

近几年高考的数学试题愈来愈强调数学的应用。1995年前的考察着重于小题,从1995年首次开始出现大题的考察.这几年基本控制在两小题一大题上.非数学的背景材料趋于复杂,数学结构趋于隐蔽,数学化困难.对学生的读题能力提出更高的要求.解应用题往往需要在陌生的情境中去理解,分析给出的有关问题.因此解应用题的一般步骤为: (1)

认真阅读,理解.读懂题意,理解实际背景,领悟数学实质. (2)

具体分析问题中的数量关系,根据题目的特点建立能正确反映原问题实质的数学模型,将应用问题转化为数学问题. (3)

运用数学知识和方法,解决上述数学问题,并检验结果的实际意义,给出答案. 建立的模型最常见的有函数,方程,不等式,数列,几何模型等. 下面就现实世界中常见的几类问题进行分析. 例1. 解下列各小题. 1.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲.乙两家到公园的距离都是2km,甲从家中出发前往乙家,右图表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系,那么甲在公园休息的时间是_______分钟, y=f(x)的函数解析式是____________ y

4 . 3 . 2 . 1 . · · · · · · x

10 20 30 40 50 60 分析:在xoy坐标平面中:x代表时间,y代表所走的路程,从图中不难明确,当x∈[30,40]时,y始终等于2,说明甲在公园休息了10分钟;当x∈[0,30],易求解y=x；x∈[40,60]15xx-2，从而有 f(x) = x[0,30] 10152 x(30,40) x -2 x[40,60] 10时,y=2.某工厂生产A、B两种成本不同的产品,由于市场变化, A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元售出,若同时出售A、B产品各一件,则____(填盈或亏)_______元. 解:设A产品题价前a元/件,B产品降价前为b元/件,则由条件可构造方程组,解得a=16元/件,b=36元/件,故出售A、B各一件的盈亏情况是23.04×2－(a+b)=－5.92元,即亏5.92元. 3.如图所示是一个正三棱柱形容器,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,请问左图所示水面的高度为______ 分析:水的体积是一不变量,设底面边长为b,左图的水面高度为h,则V水

=2a.33323332333222.b=a b,又V水=b.h,得等式a b=b.h，h=a,即442848433a,其实,由右图易知水的体积占柱体体积的,所以左图水面2433的高度也应是柱高的,即a. 42左图所示水面的高度为类题:斜平行六面体A’B’C’D’-ABCD内盛有一半水,密封后将底面ABCD放在地平面上,然后将平行六面体绕BC慢慢转动,而使之倾倒,在此过程中,有下列四种说法: (1)

斜平行六面体内水部分始终呈棱柱形; (2)

水面面积始终不变; (3)

棱A’D’始终与水面平行; (4)

侧面ABB’A’与水接触面的面积始终不变. 其中正确说法的序号是________________ 分析:本题属于应用性的开放探索题,着重考空间想象能力.柱体在绕BC的转动过程中,水面始终与地平面平行,当然与A’D’平行,由此也可发现水部分始终应呈棱柱形,又水体积是一不变量,因此侧面ABB’A’与水接触面的面积相当于也始终不变,而水面面积则在动态变化之中. 小结: 由以上几小题我们不难看出这样的事实,解应用题的关键一定要题意,读题切忌偏快,草率.

例2:下面是某企业引进高科技成果后近三年的年产量(单位:亿元),(xi=1,2,3)表示前年,去年,今年,yi表示该年的年产量. i xi 1 0 1 2 1 3 3 2 6 yi

222现拟用一次函数y=ax+b来近似模拟产量随时间变化的函数关系,但要求使Q=(y1-y1)+(y2-y2)+(y3-y3)最小,其中yi=axi+b (I=1,2,3) (1)

试求a,b (2)

试用你得到的摸拟公式估算该厂第四年(明年)的年产值

分析:这应用题属于最优化问题,数学模型直接给出 ,关键如何利用好数学内部知识来确定Q的最小值. 解：（1）y1=ax1+b=b,y2=a+b,y3=2a+b 222 

Q=(b-1)+(a+b-3)+(2a+b-6)

22=5a+3b+6ab-30a-20b+46 22=3b+(6a-20)b+5a-30a+46 6a206a202=3b-3+5a-30a+46 6622

100102=3ab+2a-10a+46-

3321051=3ab+2a+

3265a0a2 当且仅当时，即10ab0b355 所以y=x

26551(3)

令x1=3代入得y=3=8（亿元）

2631即估计第四年产值为8亿元。

352时，Q取得最小值1，

56622说明:Q理解二次型配方求最值是一种常用方法,另外对Q的表达式也可理解成方程,用⊿法则两次即可.

例3,某工厂共有214个工人,生产1500件产品每件产品由3个A型零件和一个B型零件配套完成.若每个工人加工5个零件与加工3个B型零件所需的时间正好相等,现将这些工人分成两组同时工作,每组加工一种型号的零件,为了在最短时间内完成这些任务,应该怎样分组? 分析:完成任务是指A型,B型都加工完成后.因为A型,B型同时加工的,所以哪一种零件加工完成的时间多,是多少,那么完成总任务的时间也随之确定. 解:设每个工人单位时间加工5k个A型零件,由条件单位时间内可加工3k个B型零件。214人有x个人加工A型零件,则有214- x个人加工B型零件,x∈[1,213]

 完成A型零件的时间h(x)=完成B型零件的时间g(x)=4500900，

5kxkx1500500, 3k(214x)k(214x)完成总任务的时间f(x)=｛h(x),g(x)｝max,考察h(x)、g(x)的大小，作差

h(x)-g(x)=900500100(192614x), kxk(214x)kx(214x)当1x137时，h(x)> g(x), 当138x213时，h(x)

kx 500 138x213

k(214x)

900, 137k500x) 当x138=f(138)=, ,213时，f(min76k900500100x)

而-=<0, 当x1,213时，f(min=f(137), 137k76k13776kx)

由单调性质，当x1,137时，f(min=f(137)=

即有137个工人加工A型零件，77个工人加工B型零件达到最优化。

说明:这是一道综合性强的应用题,构建目标函数是难点,并多次采用了分类思想.

例4,某工厂有一容量为300吨的水塔,每天从早上6点开始到晚上10点,供应该厂的生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水的用水量W(吨)与时间t(小时)满足关系W=100t,且规定早上6点t=0,水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨,若某天水塔原有水100吨,在开始供水时同时打开进水管,问进水量选择为第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空),又不会供水溢出.

分析:本题数量关系多,理顺数量关系是当务之急.(1)早上6时到晚上10时,即t∈[0,16],(2)选择第n级时,每小时进水量10n吨,(3)生活用水每小时10吨,(4)工业用水w=100吨

解:设进水量选择在第n级,当进水t小时时,水塔中拥有的水量f(t)=100+10nt-10t-w=100+10nt-10t-100t

，t∈[0,16],要满足既能保证该厂的用水,又不会溢出,即0≤f(t)≤300,对t∈[0,16]时不等式恒成立0≤10nt-10t-100t+100≤300101020101n1

tttt即10102010，

1n1tttmaxtmin20101 当t=16时，取得最小值4.75 tt当t0,16]时，易求解 10101 当t=4时，取得最小值3.5 tt

3.5n4.75，因此n=4即进水量选择在第4级时满足要求。

例5:威华电子商场是“华宝”牌的特约经销单位,为了在来年的空调销售中居于有利地位,2001年—7月,商场对“华宝”牌空调的市场销售情况进行了摸底调查,经过对市场情报的分析,预计从2002年1月开始内(称为销售期),空调的销售总量y与销售的时间n(单位:月)近似地满足函数关系y=10n(n2)(18n),试问: 9

(1)

哪个月销售量超过130台? (2)

在2002年的销售期内哪个月的销售量最大? (3)

在2002年的销售期内,商场每个月月初,从厂家等量进货,为了保证该品牌空调不脱销(即商场始终有货可售),每月至少应进多少台该空调? 10n(n+2)(18-n),第n个月的销售量为an, 9170(1)

第一个月的销售量a1=S1=<130,当n2时，第n个月的销售量3101422an=Sn-Sn-1=-(3n-35n-19),依题意，an>130,则，3n-35n+98<0,解得，

170 n=1 32 3n-35n+98 10n2

(2)

由（1）知an= 即an=3n-35n+98,n[1,10]是关于n的二次型，对称轴n=2355=5,当n=6时,an达到66最大,所以2002年6月份的销售量最大。

xa1(3)

设每月至少应进空调x台，则由题意应有，对n[2,10]恒x[(n1)xS]an1n成立，整理得xa1对n[2,10]恒成立,即nx>Sn对n[2,10]恒成立，nxSn10(n2)(18n)2(n+2)(18-n),而（n+2）(18-n)[] =100取“=”时n=8, 921000,即x112,即每月至少应进该空调112台。

x>9x>说明：（1）与项数顺序有关的实际问题常常归结为数列问题。

（2）对“空调不脱销”的理解要注意积压空调可继续使用。

2例6：某地有居民住房的总面积为am,其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。

（1）

如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？

（2）

过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？（保留到小数点后第一位）（新教材第一册P164 8）

分析：现行新教材开设研究性课程，其实质就是将应用性问题引入课堂，一定程度上也体现了今后高考试题将进一步加大应用题的考察。所以作为老师和学生对新教材的实际问题作一仔细研究是非常必要的。

解：(1)设每年应拆除的旧住房总面积是x，

2那么 1年后住房总面积为a1=1.1a-x(m) 22 2年后住房总面积为a2=1.1a1-x=1.1a-1.1x-x(m) 322 3年后住房总面积为a3=1.1a2-x=1.1a-1.1x-1.1x-x(m) 由此可得：

10年后住房总面积为a10=1.1a-1.1x-1.1x-…-1.1x-x 1029 =1.1a-x(1+1.1+1.1+…+1.1) 10981.1101 =1.1a-x=2.6a-16x 1.1110由题意，2.6a-16x=2a,解得：x=3322a(m),即每年应拆除旧住房的面积为am。

8080a3a101(2)由题280==6.3 % 162a 即10年后还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的6.3% 说明：

解答中10年后的住房面积采用的是特殊到一般的探索思路，其优点是易理解和控制，缺陷是有时规律不明显，通式不易得到。像这类问题还有常用的两种方法：（一）构造数列10用递推完成，（二）整体把握，如面积a经过10年后应变为1.1a, 9 第一年拆除的x相当于10年后拆除的1.1x, 8 第二年拆除的x相当于10年后拆除的1.1x, 7 第三年拆除的x相当于10年后拆除的1.1x，

……………………

29由此拆除的住房面积相当于10年后拆除的x(1+1.1+1.1+……+1.1),所以10年后住房1029面积为1.1a- x(1+1.1+1.1+……+1.1)（以下求解同上），值得提醒的是上述结果可公式化来研究。

例7．如图，公园有一块边长为2a的等边三角形的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在边AB上，E在边AC上， A E D yy y B C (Ⅰ)设AD=x(xa),ED=y,试用x表示y的函数关系式

（Ⅱ）如果DE是水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应该在那里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在那里？请予证明。

分析：这是一道以平几三角为背景的应用题，如何求x,y的关系，关键是先确定AE. 解：(Ⅰ)SADE1111SABCADAEsinAABACsinA

222212a2 ADAEABAC AE，由余弦定理，得：

2x2a222 yxx2a24a2222xxcos60xx22a 2

4a4 yx22a2 ax2a

x224a44a4224a

（Ⅱ）要求DE的最值，只需求x2的最值，而x22x4a2

2xxx24a4取

“=”时x=2即x=2a时y达到最小值,此时AD2a,AEx222a, 4a44a422222g(t)t要求x=2的最大值，令t= x则t[a,4a],此时，易证明，在t[a,2a] tx(t)上是减函数，在t[2a,4a]上是增函数，gmaxg(a2),g(4a4)224max5a2，此时t=a2或

t=4a均可以，即x=a或2a时DE最大，当AD=a,AE=2a或AD=2a,AE=a时DE达到最大。

小结: 解应用性问题一定要加强读题能力的训练，读懂题，明确关键语句的数学涵义，构建合理的数学模型，转化成数学问题求解，最后还原到实际问题，即审题、建模、求模、还原。其思路可表示如下：

实际问题

习题：

一、选择题

1.某商场出售一种商品，每天卖1000件，每件获利4元，根据经验，若每件少卖1角钱，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件应定价为

（ ）

A. 1.5元 B. 2元 C 2.5元 D. 3元

2．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来甲种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系可用途项表示为( )

3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x22y0y20，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为

A. 0

4.时钟若在整点和半点打响，整点时打响的次数与整点数相同，半点时只打响一次，则一昼夜时钟打响的次数为 （ ）

A. 324次 B. 326次 C. 180次 D. 182次

5．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）

A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种

二、填空题

6.购买手机的“全球通”卡，使用时每月须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元，若买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话每分钟话费为0.60元，则当月在市内通话时间都是_______分钟时，两种卡的总话费一样多。

7．有一个人在草地上散步，开始时从O处出发，向正东行走，每走1公里以后便向左转弯一个角度30，问他走过_________公里后，第一次回到出发点O。

8．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影长离球与地面的切点10米远，同时同地一根3米长且垂直于地面的标杆的影长为6米，那么该球的半径等于____________ 三、解答题

9.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品

专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并

约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价每件14元，②该店月销售Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图，③每月需各种开支2000元

（1）

问为使该店至少能够维持职工生活，

商品价格应控制在何范围内? (2)

当商品的价格为每件多少元时，月利

润扣除职工最低生活费的余额最大？

并求最大余额。

（3）

企业乙只依靠该店，最早可望在几年

后脱贫？

10．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环境部门的处罚，第一个月罚3万元，以后逐月递增2万元，如果从今年一月起，投资530万元增加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本，据测算投产后的前5个月的累计收入是生产时间n（以月为单位）的二次函数，投产后，前1个

月、前2个月、前3个月的累计收入分别可达101万元、204万元、和309万元，以后稳定在第5个月，同时该厂不但不受处罚，而且还将得到环境部门一次性100万元的奖励，问经过多少个月投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入. 11．某城区2001年底有居民住房总面积为a（平方米），现将居民住房划分为三块，其中危

旧住房占11，新型住房占，为了加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房（每34年拆除的数量相同），自2002年起居民住房只建设新型住房，使得从2002年开始，每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%，用an（平方米）表示第n年底（2002年为第一年）该城区的居民住房总面积。

（1）

分别写出a1,a2,a3的表达式，并归纳出an的计算公式（不必证明）；

（2）

危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该城区居民住房总面积翻两番？（精确到年，以下数据供参考：lg20.30,lg30.48,lg431.63）

解答与提示：

一．选择题

：1、C 2、A 3、A 4、C 5、C 二．填空题

：6 250 7 12公里 8 10

（用复数三角形式完成）（52）三．解答题

：

9．由图易解得Q -2p+50 p[14,20] （单位：百件）

-3p+40 p[20,26] 2（1）

由题意，100Q(p14)36002000即Q(p14)56

当p[14，20]时，解得18p21，即此时18p20满足题意；

当p[20，26]时，解得56p22，即此时20p22满足题意；

3综上，18p22时，（1）条件能得到满足。

（2）

即求100Q(p14)的最大值，当p[14，20]时，

100Q(p14)=100(502p)(p14),当p=19.5（元）时，达到最大值6050元，当p[20，26]时，100Q(p14)=100(40达到最大值361p)(p14)，当p=（元）时，233610036100元，显然<6050，当p=19.5（元）时，有利润达到最大，66最大余额6050-5600=450元。

44 （3）设n个月后可望脱贫，则450n5.810510，解得n24，即2年后可以脱贫。

10．解：设不改造设备，按原条件生产n个月累计收入为an，改造设备后，生产n个月累计收入为bn，且bnan2bnc(n5)，由条件，an=70（nN），

由已知得 b1=a+b+c=101 a=1 b2=4a+2b+c=204 解得： b=100 b3=9a+3b+c=309 c=0 n2100n(n5)n2100n(n5) 于是

bn即bn

109n20(n5)b5(n5)(b5b4)(n5) 当n5时，bn53010070n35(2n1)2n232n4300

即投资改造后，前5个月的纯收入少于不改造时的纯收入；

当n>5时，由bn53010070n35(2n1)0

2 即n41n4500 (n50)(n9)0，

解得n9

故从第10个月开始，投资后的纯收入大于不改造时的纯收入。

11．解：（1）2001年底除了危旧住房和新型住房外得其他形式的住房面积为

a11a151，依题意得：

aaa，每年拆除危旧住房面积为a103303124a120%5a1aa

412330a512aaa a2120%

412330a513aaa a3120%

412330 a1 ………………………

一般地, 510nan120%aa(1n10)41230 an

a5(120%)na(n11)412a543na4a , 1.2n (2)由120%

4123 nlg43lg314.37,nmin15 ,而15-10=5 2lg2lg31 

至少经过5年才能使该地区的居民住房总面积翻两番。

答案与提示

（一）

选择题

：B C D C D （二）

填空题

：6.0a1 7.a2 8.24 9.1,2,3 （三）

解答题

：

10 解：由axakbx0kxlogak，由条件logak0,k1

bbbx 假设存在实数a、b满足条件，由f）(3)=lg4,得a3b34,又a1b,f(x)

在（0，+

）为增函数，当x(1,)时，f(x)的值恰好取到一切正数，必有a3b345151f(1)=0ab1,联立方程组，得a。

,b22ab111．解：（1）由a2f(m1)f(m2)af(m1)f(m2)0f(m1)a或f(m2)a,

m1,m2是方程axbxca即axbxca0的一实根，22b24a(ac)0即b24a(ac),f(1)0abc0 且

abca0,c0

且b(ac)b24abb(4ab)0b(3ac)0a0,c0b0

(2)设f(x)ax2bxc的两根为x1,x2,f(1)0，显然其中一根为1，另一根为abcaac1，a0,c01,又aacc2，由已cca2abc0知f(m1)a或f(m2)a，不妨设f(m1)a，f(m1)0m1应是不等式f(x)0的解，xccm11m1331，又f(x)0的解x1或aac,f(m1)0，由上可知f(m13),f(m23)中至少有一个正数. a12.解：（1）在(n1)an1(n1)(an1)中，令n1,a11,令n2,得a315,同理a428,b12,b28,b318,b432

（2）

特殊猜想一般，bn2n2（数学归纳证明略）

（3）由（2）知an2n2n，假设存在非零实数p,q使an成等差数列，所以

pnq a32a2a121152，即，化简，得pq2q0，12pqpq3pq2pqpq3pq

an2n2nnp,q均不等于0，p2q，代入验证知，所以，数pnq2qnqq列ananp,q此时一定成等差数列，存在非零实数使成等差数列，pnqpnq此时p2q.

去x,解y22ky2m0

③显然y1,y2是③的两根，y1y22m,y2y14k28m

由Ⅰ得42m24k28m，即2m02m0

2m4k28m2222(2m)4k8m4k(m2)8m

由方程思想知，存在k的条件为(m2)28m0m642或m642

综上：（1）当0m642时，这样的弦AB存在，

（2）当642m2时，这样的弦AB不存在。

说明：（1）将存在的几何条件坐标化是解几最常见的策略

（2）

否存在往往以讨论的形式出现

22例3：已知曲线C:xy1及直线l:ykx1，曲线C与C关于直线l对称，

'（1）

若P是C与C的公共点，试证明P关于l的对称点P也是C与C的公共点。

/''（2）

试问：无论K取何实数时，C与C是否总存在公共点，试说明理由。

分析：问题Ⅰ易证，其目的为问题Ⅱ服务，因此利用好问题Ⅰ是解决问题Ⅱ的关键。

解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）假设C与C总存在公共点P，由Ⅰ知P也为公共点

/''（1）

若P与P重合，即说明C与l有公共点，反之，若C与l有公共点P,则C与C有/'

x2y21公共点P,联立方程组(1k2)x22kx20有解，ykx11k202'

或1k0,得2k2,即k2,2时，C与C有0公共点。

/（2）

若P与P不重合，则说明C上有两相异点关于l对称，反之，若C上有两相异点P与P关于l对称，则C与C必有公共点。

设P P所在的直线方程y//'1xb,P(x1,y1),P'(x2,y2)

，P P/的中点为kM(x中，y中），联立方程1yb，消去k22xy1y得：2(k21)x22kbkx(b21)0，由>0得：k21k2b20 ①

x1x2kbx中222k21 ,而M(x，y）l2kb1k ②

2中中1kby中x中bkk21

k21k2b0k210即k1或k1时，C与C'也有公共点，联立222kb1k综合（1）、（2）知，无论k取何值，C与C总存在公共点。

说明：将C与C的公共点转化成直线与C的位置来研究是解几研究的重点，应重点训练。

以上几例是对两类常见探索题型的初步探讨，深刻性、完善性有待进一步加强。

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