2.1.1 函数的概念和图象教学实录

§2.1函数的概念和图象

课

题：§2.1.1函数的概念和图象⑴

教学目标：1.体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念; 2.了解函数的要素有定义域、值域、对应法则,会求一些简单函数的定义域、值域; 重点难点：重点——理解函数的定义;

难点——判断某些对应是否是函数．

教学教程：一、问题情境

看课本P21三个实例:⑴我国人口变化情况;⑵自由落体运动;⑶某地24小时内天气变化情况.观察三个问题有什么共同之处,如何用集合语言来阐述它们的共同之处? 二、学生活动

看课本P21三个实例,思考以下问题

问题1:三个实例中,各有几个变量? 显而易见,都有两个变量. 问题2:三个实例中,第一个变量取一个确定的值以后,第二个变量可取几个值? 讨论得到: 当一个变量取值确定后,另一个变量的值随之惟一确定. 引导学生回忆,这就是初中学过的函数. 三、建构数学

问题3:如何用集合语言来阐述上述三个实例的共同特点? ⑴每个问题都涉及两个非空数集A,B; 举例说明. ⑵存在某种对应法则,对A中任意元素x,在B中总有一个元素y与之对应. 举例说明. 可以用“箭头图”清晰地表示出这种关系. 1949 1954

1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 542 603

672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 这种对应具有“一个输入值对应到惟一的输出值”的特征.

⑶将这些特征用集合语言描述出以上特征,就是函数的定义: 一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数(function), 通常记作

y=f(x),x∈A, 其中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数的定义域(domain). 注: 1.定义中三个关键词:“非空”、“每一个”、“惟一”；

2.给定一个函数时,就要指明函数的定义域.用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么定义域就是指使函数表达式有意义的输入值的集合.

3.A是函数y=f(x)的定义域,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域(range). 四、数学运用

1．例题

例1 在下列对应中,能构成函数的是哪几个?

1 2 3

f

12

13

1 2 3 4

f

0 3 5

1

4

f

1 3 5

1

2 f

2 4 6

A

⑴

B

A

⑵

B

A

⑶

B

A

⑷

B

解:⑵,⑷是函数,⑴,⑶不是函数. 例2 判断下列对应是否是函数

⑴x→y=x+2,x∈R; ⑵x→y,其中y2=x,x∈N,y∈R; 3⑶x→y=x,x≠0,x∈R. 解: ⑴,⑶是函数,⑵不是函数. 根据函数定义可知,从非空数集A到非空数集B的对应,如果A中有多余元素,或者A中一个元素对应B中多个元素,则此对应不是函数. 反过来, 如果B中有多余元素,或者B中一个元素对应A中多个元素,则此对应可能是函数. 从非空数集A到非空数集B的一一对应一定是函数, 例3 求下列函数的定义域

1⑴f(x)=x+1

⑵g(x)=

x－2解: ⑴要使函数式有意义,必须使x+1≥0,即x≥－1 所以此函数定义域为{x|x≥－1}. ⑵要使函数式有意义,必须使x－2≠0,即x≠2 所以此函数定义域为{x|x≠2,x∈R}. 例4 比较下列两个函数的定义域与值域:

⑴f(x)=(x－1)2+1, x∈{－1,0,1,2,3};

⑵f(x)=(x－1)2+1. 解:⑴∵x∈{－1,0,1,2,3} ∴f(－1)=5,f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5, ∴此函数值域为{1,2,5} ⑵∵x∈R

∴f(x)=(x－1)2+1≥1

∴此函数值域为[1,+∞) 2.练习

P24 练习

1~4,6,7 五、回顾小结

本节课主要学习了用集合来描述函数的概念,要会判断一个对应是否是函数,会求一些简单函数的定义域、值域. 六、课外作业

1．P28

1，2，3(暂不画图); 2．预习课本P25~27 预习题:函数的图象有可能有哪几种形式?