3.2.1 对数公开课教案（教学设计）

课题：3.2.1 对数

教材：数学1第72—74页

教材分析

“对数”

作为高一教材的内容，安排在必修1第3章《指数函数、对数函数和幂函数》的第二部分，共分两个课时完成。今天我要说的是第一课时——对数的概念。此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。通过对数概念的学习，将加深学生对指数的进一步理解，且为后面对数的运算性质及对数函数的学习做准备。

教学目标：

1.理解对数的概念；

2.会熟练地进行指数式与对数式的互化；

3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。

教学重点：构建对数的概念，通过指数式与对数式的相互转化，深化理解对数的概念。

教学难点：对数概念的建构。

教学方法与教学手段：

按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学运用—回顾反思”的思路，根据学生学习内容的特点及要求，指导学生自主、合作、探究学习，努力增加学生主动探索的机会。同时利用实物展台和板演等，让学生或组长展示学生个体或小组的学习成果，促进学生相互学习，互相提高。

教学过程：

一、激趣

某种放射性物质不断变化为其他物质，该物质最初的质量为1. （1）每经过1年，这种物质剩留量是原来的84%，那么经过2年，这种物质的剩留量是原来的多少？

0.842x

（2）若经过2年，这种物质的剩留量是原来的70.56%，那么这种物质平均每年剩留的质量是原来的多少？

x270.56%

（3）每经过1年，这种物质剩留量是原来的84%，那么经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半？

0.84x1

2结合教材文本内容，设计了三个问题，让学生带着问题自主学习。即根据题意，设未知数，列出方程。

可以看出，这三个方程是指数式abN中，已知两个数，求第三个数。

方程（1），（2）我们都会解，其中，方程（1）是乘方运算，方程（2）是开方运算

，方程（3）会解吗？

这种运算学生还未学过，让学生思考这个未知数x是不存在呢？还是我们现有的知识不够用？

根据指数函数y0.84x的图像，发现x存在，暂时不会表述。从而激发学生学习对数的兴趣。引出课题。

二、建构

对数的定义：一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

由定义可以看出，对数式是一个记号，是指数式abN的另一种等价表示形式。

在黑板上板书，

指数式

对数式

abN



logaNb

这部分再明确在指数式和对数式中a,b,N的名称分别是什么。

点题：方程（3）中，0.84x叫什么？

提问：对数式中字母a,b,N的取值范围分别是什么？

同指数式一样，a0,a1，bR，N0

1.举具体的例子加深学生的理解：

111xlog0.84，此式中，0.84，x，分别222底数

指数

幂

底数

真数

对数

log3(2),log0.50,log23有意义吗？

通过学生的回答，得对数的第一个性质：负数和零没有对数，同时板书在黑板上。

2.提醒注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误。

三、应用：

例1.将下列指数式改写成对数式：

（1）2416

（2）3311

（3）5a20

（4）()b0.45

27213

（3）log520a

（4）log10.45a272[来log3解：（1）log2164

（2）源:Z.xx.k.Com]

例2．将下列对数式改写成指数式：

（1）log51253

（2）log10a1.699

（3）logeb2（e是无理数，e2.71828）

解：（1）53125

（2）101.699a

（3）e2b

说明：例1中（1）（2），（3）（4），例2中（1）～（3）分别请三位同学板演，这两个例题是进行指数式和对数式互化，关键是运用对数定义中，指数式

与对数式的互化关系，注意其中a,b,N的相应位置以及意义，特别是例1中由指数式改写成对数式时要注意对数符号书写的规范，对书写不规范导致的错误进行纠正。点评结束，将结合巡视学生做题情况，将学生书写规范和不规范的导学案用实物展台比较展示，进一步规范要求，同时也激励学生。

介绍两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数log10N，简记为lgN。

如log102简记为lg2，log1012简记为lg12等。

（2）自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数logeN，简记为lnN。

[来源学科网]

如loge2简记为ln2，loge15简记为ln15等。

提醒学生注意两个重要对数的书写，同时板书在黑板上。

说明：这两个对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备。

例3.完成下列探究活动：

探究活动1

（1）log31=

0

（2）lg1=

0

（3）loga1

0

探究活动2

（1）log0.50.5=

1

（2）lne=

1

（3）logaa

1

探究活动3

（1）2log23=

3

（2）0.4log0.489=

89

（3）alogaN

N

3探究活动4

（1）log264=

6

（2）log927=

（3）logaabb

2证明

对数恒等式：(1)alogaNN

(2) logaabb

证明:(1)设logaNb，则abN，即alogaNN

(2)设logaabx，则axab

∴xb 即logaabb

小结：（1）1的对数等于0，即loga10

（2）底数的对数等于1，即logaa1[来源学科网]

（3）对数恒等式：alogaNN，logaabb

说明：本题采用小组合作学习，先由学生独立完成，通过思考，然后分小组讨论，使学生熟练掌握指数式与对数式的互化，理解求对数的实质，最后得出结

论。前两个结论loga10，logaa1只要类比指数式a01,a1a，即可，后两个结论alogaNN，

通过练习和讨论的方式，logaabb必须要通过严谨的证明。让学生自己得出结论，从而能更好的理解和掌握对数的性质。这四个探究都是从（1）（2）两个具体数值中抽象出第（3）个公式，培养了学生类比，分析，归纳的能力，还体现了从特殊到一般的数学思想。通过对对数恒等式严谨的证明，又进一步巩固了对数的定义，即对数式和指数式的相互转化。对最后得到的四个结论进行小结，板书在黑板上。

小试身手1. 求下列各式的值：

（1）lg1000

（2）eln5

(3) log6[log4(log381)]

解：（1）lg1000lg1033

（2）eln55

（3）log6[log4(log381)]=log6(log44)log610

本组题让学生先自主完成，然后口答，教师再根据学生回答情况进行点评。说明：本组题巩固对数的定义和对数恒等式，熟练运用对数恒等式。

小试身手2. （1）已知log3(lnx)0，求x的值。

（2）已知loga2m，loga3n，求a2mn的值。

（3）求值：23log25

解：（1）∵log3(lnx)0

∴lnx1 ∴xe

（2）∵loga2m，loga3n

∴am2,an3

∴a2mn=a2man(am)2an22312

（3）23log25=232log258540

本组3条题目分别请三位学生板演，然后根据板演的情况教师点评。

说明：本组题主要是巩固对数的定义，抓住指数式与对数式的互化，结合指数[来源:Zxxk.Com]

的运算性质进行解题。

出示第3题的变式。

（3）变式：求23log25的值。

解：23log25=(2log25)353125

说明：此变式将原来指数中的3log25

变化为3log25，对指数的运算性质及对数恒等式的使用更为灵活。

四、课堂小结：

本节课学习了以下内容：

1.对数的概念：abNlogaNb（指数式与对数式的互化）

2.对数的性质：

（1）负数和零没有对数

（2）两个常用对数的值：loga10,logaa1

（3）两个对数恒等式：logaabb，alogaNN

3.两个重要对数：常用对数lgN，自然对数lnN

说明：课堂小结是为了对本节课所学习的知识进行再回顾，对本节课的学习重点和难点有更进一层的体会。

五、作业布置：课本P79 页1，2，3（1）~(4)

[来源学科网ZXXK]

六、板书设计：

对数

1．定义：

指数式

b对数式

aN



logaNb

学生活动

底数

指数

幂

底数

真数

对数

2．对数的性质：

（1）负数和零没有对数

（2）两个常用对数的值：loga10,logaa1

（3）两个对数恒等式：logaabb，alogaNN

3.两个重要对数：常用对数lgN，自然对数lnN

教学设计说明

新课程强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学。如何根据学生实际、创造性的使用教材，使新教材在培养学生的数学素养的作用上发挥得更好？如何去开发课程资源，让数学教学适度得生活化、情景化而又不失浓厚的数学味？新教材的生动形象给教师提供了创造的空间。

对数是高中数学的一个重要内容。对数概念较为抽象，是学生学***难点，创设实际情境，从实际情境中发现问题，让学生感受到实际的需要，一方面使学生认识到引进新概念的必要性，另一方面，也为抽象概括提供感性材料，先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在学习新知识部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。在课堂教学中，改变学生的学习方式，增加学生主动探索的机会是新课程所倡导的教学理念，但如何在教学实践中加以实施，却是一线教师面临的棘手课题。本节课我的设计是这样处理的：几组问题层层推进，以问题为中心展开数学教学，学生的思维随着问题的呈现而被激活，在教师的引导下，步步深入，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，在突破难点的同时有效地训练了学生的思维，在教学过程中，让学生从再发现意义上来感受数学知识的形成、发展过程，学习科学思维方法与数学思想方法。总之，在教学中教师应结合教学内容与学生的认知心理来采取恰当的教学方式，以学生为中心面向学生，创新教法；面向学情，引导学法，用心去关注每个个体，用心履行教师的天职——教好书育好人，使课堂不仅成为学科知识传递及实践、创新的殿堂，而且成为人性培育的圣殿，真正为学生的终生发展服务。

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