3.4.1 函数与方程优质课教案推荐

二次函数与一元二次方程

江苏省高邮中学

邹广银

一、教材分析

1．本章知识结构框图

2．教材的地位与作用

本节为《数学必修1》第三章第1节内容。教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系）到一般揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系。在此基础上，使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系；而且在方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容、建立数学模型等埋下伏笔。

3．教学重点、难点

重点：函数的零点与方程的根的联系；

难点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法；

二．目标解析

1．帮助学生理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件；

2．渗透由特殊到一般的认识规律，培养学生的观察能力，提升学生的抽象概括能力，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

三、学情分析

1．学生的年龄特征和认知特点：

此阶段的学生，思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。因此，本课是学生在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。

2．在学习本课前应具备的基本知识和技能：

通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解，以此为基础，教材在第二章《基本初等函数》介绍了指数函数、对数函数、幂函数的基本性质，此时学生已经对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识，所以在本节课提出函数零点的概念，不会显得突然，反而对学生的认知过程有很好的帮助。

3．教学问题诊断：

本节课的学习障碍为零点存在性定理的认识。零点的存在性定理是通过分析了众多函数图像在某区间上有零点，它们具备什么共同性质而得到。学生可能误认为函数在某区间有零点，就有一定要有f(a)f(b)<0。所以在零点存在性定理的接受上有一点的障碍。

四、教、学法分析

1．教法选择：以问题为主线，进行“创设情境，组织探究，例练讲解，整理归纳，作业回馈，课外延拓”教学；

1

2．学法指导：学生在老师的引导下，边观察、边思考，推理、归纳，体验知识的形成过程；探究、研讨，达到知识的延展。

3．教学用具：投影仪、多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用几何画板和Excel软件）。

五、教学程过程设计

教学过程：

1、创设情境，揭示课题

【引入】对于一般一元方程f(x)=0，其相应的函数为y=f(x)。

观察三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

1方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3 2方程x2-2x+1=0与函数y= x2-2x+1 3方程x2-2x+3=0与函数y= x2-2x+3

提问1：（1）求出以上一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象与x轴交点。

（2）观察方程的根与相应的二次函数的图象和x轴交点横坐标的联系。

【推广】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根和相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象关系怎样？

【归纳】．

１）△>０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点。

２）△=０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点．

３）△<０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点．

2、组织探究―――－形成概念：

【推广】对于一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)。

(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(x)图象必经过点(c,0); (2)若方程f(x)=0没有实数根,则相应函数y=f(x)图象与x轴没有交点. 【定义】函数零点的概念：

对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．

【分析】函数零点的意义：

2

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标．

提问2:(1)根据零点的定义,零点本质上是一个点还是一个数? (2)如何求函数零点?

【归纳】方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．

【讲述】函数零点的求法：

求函数y=f(x)的零点：

1 （代数法）求方程f(x)=0的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

2、组织探究―――－研讨新知：

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)= x2-2x-3的图象：

提问3:计算的f(-2) 和

f(1)乘积,你能发现这个积有什么特点?在区间上[2，4]上是否也有这种特点呢? 1 在区间[-2,1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)= _______, f(-2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间[2，4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；

f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；

f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

提问4：由以上两步探索，你可以得出什么样的结论（函数满足什么条件时在区间(a,b)内有零点）？

【结论】定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

【分析】举例说明：

1． 下面两图中对应的函数都满足以下条件：

⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；

⑵f(a)·f(b)<0。

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有一个零点

3

②函数y=f(x)在区间(a,b)内有多个零点

2．反例说明：

①若函数满足f(a)·f(b)<0，但在[a,b]上的图象不连续，可能出现以下情形：

②函数在[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，但不满足f(a)·f(b)<0, 可能出现以下情形：

3、例题研究，发现思维

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

例1．求函数f(x)= lnx+2x-6的零点个数．

提问5：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

解：用计算机或计算器作出x、

f(x)对应值表

x

f(x) …

…

1 -4 2 -1.306 3 1.0986 4 3.3863 …

…

画出函数的图象，

从列表和图象可看出，f(2)<0,f(3)>0

即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内有零点。

又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个零点。

思考：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)<0 , f(3)>0吗？②*作出函数y=lnx与y=6-2x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx+2x-6=0的根的关系. 4、巩固练习，深化理解

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

4

（1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；

（3）x2=4x-4； （4）5x2+2x=3x2+5．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）f(x)= -x3-3x+5；

（2）f(x)= 2xln(x-2)-3；；

（3）f(x)= ex-1+4x-4；

（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x

5、整理归纳，整体把握

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

【小结】

函数零点的定义

函数的零点与相应方程的根的等价关系

函数的零点或相应方程的根的存在性判断定理

6、作业反馈：

1．教材P81习题2．5第1、2题；

2．求下列函数的零点：

（1）y=x2-5x-4；（2）y= -x2+x-+20；

（3）y=(x-1)(x2-3x+1);（4）f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)．

3已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1：

⑴m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

⑵若函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

7、拓展延伸：

研究y=ax2+bx+c，ax2+bx+c=0，ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达。

5