3.3 幂函数公开课教案

课题：3.3幂函数

【教材分析】

本章节立足于现实生活，以实际问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学应用——回顾反思”这一主线，通过对实际问题的的观察、分析、归纳、抽象、概括，数学的提出、分析、解决问题，感受数学建模的一般过程与方法。通过对指、对、幂函数的学习，使学生进一步感受函数是重要的数学工具与语言，培养学生的创新思维和运用数学知识解决问题的能力。

通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待1y=x,y=x,y=x, y= x

等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值23域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测．

【学情分析】

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础．

【学习目标】

1过程目标：

（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

（2）使学生体会数形结合的思想。

2知识技能目标：

(1)了解幂函数的概念，会画幂函数的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

(2)了解几个常见的幂函数的性质。

3情感目标：

(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

(2)利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点：常见幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

【探究活动】

创设情境：

问题1：如果有人购买了每千克一元的蔬菜x千克，那么他需要付的钱数y=___，这里y是x的函数. 问题2：如果正方形的边长为x那么正方形的面积y=___，这里y是x的函数. 问题3：如果正方体的边长为x,那么正方体的体积y=___，这里y是x的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y=___，这里y是x的函数. 问题5：如果某人xs内骑车行进了1km，那么他骑车的速度y=___，这里y是x的函数. 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？___________________ 二、活动尝试：

（一）幂函数的概念

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？

这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？

幂函数的定义：

________ _______________________________________________________ 【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念）

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说__________________ 对指数函数来说__________________ 试一试：判断下列函数那些是幂函数

y=0.2x （2）y=x0.2 （3）y=x-3 （4）y=x-2

问题2：若y=(m2-3m+3)x2m+1是幂函数则m=_______ （二）几个常见幂函数的图象和性质

1【探究二】在同一坐标系画出函数y=x,y=x2,y=x3,y=x , y= x

的图象，研究图像的性质，将你发现的结论写在下表内。

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

y=x

y=x2

y=x3

y=x

1y= x

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：y=x,y=x2,y=x3,y=x , y= 1x

的共同性质。

(1)所有幂函数图像都在_______上有意义，并且图像都过_______点

1(2)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x , y= x

的图象都过点__________ 1函数y=x,y=x2,y=x3,y=x , y= x

在____________上单调递_______；

归纳：幂函数y=xα图象的基本特征是，当α>0时，图象过定点_________，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间__________上是单调_________。

(3)请同学们模仿我们探究幂函数y=xα图象的基本特征α>0的情况探讨α<0时幂函数y=xα图象的基本特征。

归纳：α<0 时幂函数y=xα图象的基本特征：过定点________，且在第一象限随x的增大而_________，函数在区间_________上是单调_______ 【性质应用】

例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。

2－y=x31y=x2

（1）

（2）（3）y=x-2

例2比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

11(1) 2.13

________ 2.23

(2)(-2.1)3 ________(-2.2)3 111-0.251-0.27--(3) 2.13

__________2.12

(4)3

_______3

1y=x2

例3求证：幂函数

【回顾反思】：

在其定义域上单调递增。

(1) 探究数学问题的一般方法

(2)幂函数的概念及其指数函数表达式有哪些区别？

(3)常见幂函数的图象和幂函数的性质，你熟悉吗？

【思维拓展】：

根据下列条件对于幂函数y=xα的有关性质的叙述，分别指出幂函数y=xα的图111象具有下列特点之一时α的值，其中α∈{-2,-1,-2

,3

,2

,1,2,3} （1）图象过原点，且随x的增大而上升；

（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x的增大而下降；

（3）图象关于y轴对称，且与坐标轴相交；

（4）图象关于y轴对称，但不与坐标轴相交；

（5）图象关于原点对称，且过原点；