3.4.2 函数模型及其应用第一课时教学实录

应用题专题复习课

——课本应用题的拓展

一、教学目标

1．基于一道课本题探究，总结一类问题的解法，经历解数学应用题全程，深化理解应用题的解题过程与方法。

2．突出选择意识，提高数学建模水平，提高发现并提出问题、分析和解决问题能力，强化合作交流意识。

二、教学重难点

审题过程，探明关键要素，选择恰当变量建立数学模型。

三、设计思路

数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，推动数学发展的动力。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出“数学建模”核心素养，通过建模课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神，体现了数学育人价值。

在平时数学课堂、教材和考试中出现的应用题大多是为了练习数学运算而精心设计的，它们是从日常生活情境中提炼而来，然后再用数学语言赋予一个新的情境，经过了“去情境化”和“再情境化”的过程。形式刻板、规范，问题情境常常是条件不多不少，题目中变量通常是已知的，解法指向清晰，结果常常是确定的或唯一的。老师在课堂上往往只是按部就班地讲，教给学生解一道题的方法，或者就这个问题给出了他自己的思路，学生虽然能够

“理解”并“解决”这些问题，学到的仅有数学知识。但他们在解题过程中并未深入思考现实情境与数学操作之间的关系。由于考试的功利性，教师将精力过多地投入到对学生运算技能的培养上，而忽视了教授他们如何理解问题和对问题进行心理表征的建构，没有教会学生怎么样思考，为什么要这么做？这样做的目的是什么？根据是什么？以后遇到这类问题应该怎样去入手？

改变上述现状，需要通过教师有目标、有层次的设计学习活动，改变传统的教学和学习方式，引导学生主动、自主地学数学、做数学、用数学，强调学习的“过程”，注重“学习活动”，基于以上的思考，笔者尝试如下设计：

本节课问题情境从教材的例题出发，改变传统的应用题学习方式，让学生自主提出问题，

1

调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程，尝试解决问题，真正唤起学生主动参与的意识。让学生经历数学模型的形成过程（从长度、点、角度三条途径），真实体验如何通过数学的“眼睛”来观察和分析问题。例题的情境与引例相关联，学生独立思考后，师生交流，一起完成“建立模型”和“模型求解”重要过程的数学活动。学生在解决例题后，尝试让学生自己提出想要解决的问题，培养学生的创新意识，更有利于调动学生的学习积极性和参与度，提升学习活动的效果。

本节课三个环节的教学设计旨在突出学生主体地位，教师激励学生大胆尝试，鼓励学生动口表述，动手操作，动脑思考，使学生始终处于主动参与，主动探索的积极状态。引例和例题重点突出分析数学建模的思维过程，通过建模发生、发展、应用过程的揭示，发展学生数学思维能力，培养学生创新意识，使每个学生各有所得。

四、教学过程

(一)例题激活

请看下列情境:如图1，在半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形材料。

问题1、你能提出有意义的问题吗？

（图1）

【设计意图】

DOACB

本环节以教材例题为问题情境引入，引导学生从实际情境中提出问题，并解决问题。如何选取适当的变量刻画相关对象建立函数模型是学生解决实际问题的难点。引例的重点不是特定的数学知识的应用——解模，而是运用数学知识和方法对现实生活中的问题寻求一个合理的解决方案。引例教学重点放在如何运用数学知识刻画和构建模型方面，启发学生从长度（(x)）、点坐标（(x,y)）、角度（）三种变化角度出发得出解决方案，经历数学模型的形成过程（尝试），进而强化学生的数学建模知识，进一步培养学生的数学建模能力。

教学过程中注重学生数学交流能力的培养，学习体会数学建模的一般过程，特别是探明关键对象，提炼出如何选取变量建立目标函数的一般思维策略，初步体验数学建模的思想和数学在日常生活中的作用。

问题2、数学建模的一般过程是什么？

2

1）明确关键变量（建模（2）探求变量关系

3）关注变量范围（(二)拓展应用

例

某农场有一块农田，如图2所示，它的边界由圆O的一段圆弧

(M为此圆弧的中点）和线段EF构成.已知圆O的半径为40米(圆心O在弓形EMF内），现规划在此农田上修建形状为矩形ABCD的温室大棚,其中

AD∥EF，且点A、D在弧EF上，问如何修建使得矩形ABCD的面积最大？

小结：

建模

数学问题

现实情境

解模

验证

问题答案

回答问题

设计意图：

图2

本环节从引例情境进行辐射，对条件进行变式，教学中注重独立探究与合作探究相结合。先让学生自己去挖掘、采集有用的信息，自己提出模型的假设，根据问题的实际意义、具体背景，在讨论交流的基础上完成建立模型、求解、验证、修改、评价。

例题是学生在引例的基础之上进行数学建模的同类操作模式，希望通过这类训练使学生学会使用恰当的变量建立函数模型，针对所要处理的现实问题进行灵活的取舍与分析，形成灵活的、更富迁移性的开放数学建模问题图式，加深关于数学建模问题图式的体系化认识。

问题3：通过比较我们发现例题是在引例的基础上对数学背景做了变式，大家动动脑筋，你能对本题能作其他变式吗？

设计意图：

在应用题教学中，教师很少给学生提供变式练习的机会，课后作业也与课堂上教师所讲数学建模问题类似，缺乏变化与灵活性。学生机械接受知识而形成的数学建模问题图式缺乏

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灵活性，很难迁移至新的数学建模问题情境之中。本环节教师在学生从解决教师（教材）给定的问题后让学生自己提出、发现一些值得探究的问题，有利于提升学生对数学建模问题的表征能力。给学生提供探究发现、合作学习、个性展示、交流分享、反思拓展的机会，发展学生创新精神，培养学生应用意识和实践能力，体现了数学建模教学的数学育人价值。

(三)链接高考

某农场有一块农田，如图3所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP，要求A、B

均在线段MN上，C、D

均在圆弧上．设OC与MN所成的角为.若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3，求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

(四)课堂反思

本节课的学习收获

应用题的解题是怎么进行的

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