三角形的高课堂实录【3】

第五章

二元一次方程组

5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数

师大一中

胡文靖

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：七年级时，学生已经学习了一元一次方程及其应用。本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。

学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些编题活动，同时也具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、

教学任务分析

教材的内容：《应用二元一次方程组——里程碑上的数》是北师大版《数学》八年级（上）第五章第五节的内容。经过前两节的学习，学生对用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法有了基本的了解，与前两节相比，本节选择的问题数量关系更为复杂，教科书以此数字问题为载体展现了分析数量关系、建立方程组的过程和策略，在此基础上归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。

地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解应用题后，运用二元一次方程组解决有关数字问题的应用题。通过本节内容的学习，将有助于学生加深对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法，提高学生分析和解决实际问题的能力。

三、教学目标

1.能借助“数字”的十进制表示、整体思想和图表分析等方法寻找等量关系，解与“数字”有关的简单的实际问题。

2.经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效的数学模型，并归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

3.经历自主探究和合作交流的过程，培养学生的探究能力及合作意识，提升分析问题和解决问题的能力。 四、教学重难点

1.教学重点：

能通过实际问题中的关键词，借助数的十进制表示法、隐含的数量关系、整体思想和图表分析法建立方程（组）解决与“数字”有关的实际问题。

2.教学难点：

如何将与“数字”有关的实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。

五、学生容易出错的内容

学生在设未知数表示一个数时，容易将所设的数字的数位弄错。

六、教法、学法

教法：尽可能增加教学过程的趣味性，利用多媒体课件丰富学生的学习资源。注重思维的启迪和方法的引导。

学法：强调学生动脑思考、主动参与、自主探究、合作交流。

七、教学流程

本课设计了七个教学环节：第一环节：感受生活中的里程碑；第二环节：知识回顾

；第三环节：情景引入

；第四环节：探索新知；第五环节：归纳列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；第六环节：学习反思；第七环节：布置作业。

八、教学过程

第一环节

感受生活中的里程碑

教师活动：教师利用多媒体看一组图片。

设计意图：让学生感受生活中的里程碑，激发学生的学习兴趣。

第二环节

知识回顾

1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为： 2.一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为

: 3.一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为： 4.ａ为两位数，ｂ是一个一位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个三位数，则这个三位数可表示为： , 若把ａ放在ｂ的右边得到一个三位数，则这个三位数可表示为：

。

【设计意图】：通过一组“数字”问题的练习，复习巩固数的表示方法，使学生能熟练地用代数式表示有关“数字”问题，为本节课的学习做好铺垫。

第三环节

情境引入

教师活动：小明一家开车从成都出发去九寨自驾游，一路匀速行驶。8:00小明看到里程碑上的数字是76，9:00看到里程碑上的数字是114，从中你能知道他们的行驶速度吗？10:00小明看到里程碑上的数将是多少呢？

学生活动：比比谁找到的信息更多。

【设计意图】：通过一个简单问题的铺垫，使学生能更容易从后面例子中找出隐含的等量关系。

第四环节

探索新知

1.教师活动：（情景一）小明在公路上匀速行驶的途中发现了一个有趣的现象，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？

2.师生交流：分析怎样设未知数，以及可以利用表格理清题目中的数量关系，引导学生找出等量关系。板书解题过程。

分析：设小明在12:00看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么

时刻

12:00 13:00 14:00 百位数字

十位数字

个位数字

表达式

x

y

10x+y

y

x

10y+x

x

0

y

100x+y

等量关系：１．12:00看到的数，两个数字之和是7：x＋y＝7.

２．路程差：

12:00－13:00：（10y＋x）－（10x＋y），

13:00－14:00：

（100x＋y）－（10y＋x），

路程差相等：

（10y＋x）－（10x＋y）＝

（100x＋y）－（ 10y＋x）. 根据以上分析，得方程组

x＋y＝7，

（10y＋x）－（10x＋y）＝

（100x＋y）－（ 10y＋x）. 解方程组

x＋y＝7，

（10y＋x）－（10x＋y）＝

（100x＋y）－（ 10y＋x）. 整理得

x＋y＝7， x = 1 ， y＝6x. 解得

y =6.

因此，小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．

【设计意图】：经历列方程组解决数字问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效的数学模型；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；

3.小结：

１．对较复杂的问题可以通过 的方法理清题中的未知量，已知量以及等量关系，使条理更清楚。

２．借助方程组解决实际问题。注意挖掘 的等量关系。

【设计意图】：学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。

4.情景回放：

5．小试牛刀：

教师活动：

小明骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，小明在7:00时看到的数字是？

分析：设小明在7:00看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么

时刻

7:00 8:00 9:00

学生活动：在学案上独立完成。

教师活动：学生答题过程中巡视，投影学生的解答，加以点评。

十位数字

个位数字

表达式

10x＋y

10y＋x

8（10x＋y）

x

y

y

x

【设计意图】：本题是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手。及时检测，巩固知识。

（情景二）

NBA著名篮球运动员迈克尔.乔丹在他的运动生涯中用过两个经典的球衣号码，善于观察和思考的小明发现这两个号码都是两位数，且这两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，你能通过计算知道乔丹的这两个球衣号码是多少吗？

1.教师活动：教师提问如何设未知数？先由学生思考，说出设未知数的方法，本例中，要求两个两位数，学生习惯设四个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里较小的两位数和较大的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。教师投影解答过程。

【设计意图】：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。

2.小试牛刀

有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，试求原来的3位数．

学生在学案上完成，教师展示结果。

原数

新数

百位数字

十位数字

个位数字

表达式

x

y

y

x

100 x + y

10 y + x

等量关系：１．原三位数－45＝新三位数

２．9百位数字＝两位数－3 解：

设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，

根据题意的得：

100x＋y＝10y＋x，

9x＝y－3.

解得

x＝4，

y＝39.

答：原来的三位数是439．

点评：

本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，继续观察发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：

第五环节

归纳列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

学生活动：小组合作交流，总结步骤。

【设计意图】：归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

第六环节

学习反思：

１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．

２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：

分析

求解

问题

方程（组）

解答

抽象

检验

３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，应根据具体问题灵活运用。

【设计意图】：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想。

第七环节

布置作业

作业：课后达标检测，预计时间25分钟

九、教学反思

1．突破难点的策略

列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；这样可以培养学生多种思维方式，突破难点。

2．关注数学思想方法的揭示

数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法的揭示，提高学生对数学思想的认识，提升解题经验。