复习题教学设计内容推荐

北师大版七年级下册

第五章：生活中的轴对称

——《与轴对称有关的线段最值问题》教学设计

西安市第六十七中学 肖雅

一、学生基础分析：

本节内容是北师大版数学七年级下册《生活中的轴对称》的一节与轴对称有关的线段极值问题，属于一节第五章专题复习课。轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，在本章前面几节的学习中，学生比较系统地学习了轴对称的定义、性质及线段、角等简单图形的轴对称性，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征，为本节课的专题复习奠定了知识和技能基础。

二、教学任务分析

本节课主要立足学生已有的生活经验和初步的数学活动经历，以生活的角度研究两点之间线段最短为起点，引导学生运用所学“线段公理”、“三角形三边关系”等知识解决常见的线段之和最短问题。重新回顾本章中的典型线段之和最短图形和再次体验蕴含的转化等数学思想，是本节课学生能力提高的保障。同时为后续解决与特殊四边形、圆有关的极值问题奠定基础，积累经验。为了更好地引导学生运用“数学”的眼光观察现实世界，体会数学的广泛应用和相互联系，丰富学生的数学活动经验和学法积累，培养他们积极的情感态度，促进观察、分析、计算、推理等能力的发展，特制定目标如下：

三、教学目标的确立

知识与技能：

1.进一步掌握轴对称的性质，综合运用轴对称的有关性质解决线段极值问题；

2.灵活运用线段公理，将生活中的最短距离问题抽象为数学中的线段极值问题，并能根据实际问题进行推理与计算。

过程与方法：

让学生在丰富的现实情境中，经历观察、分析、计算与推理等数学活动过程，进一步发展空间观念,体会转化的数学思想，发展学生有条理的思考和推理能力. 情感与态度：

1

在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识。

让学生进一步体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣. 四、教学重、难点

教学重点：灵活掌握轴对称的有关性质，

学会将“线段和的最小值问题”转化为“两点之间线段最短”模型，从而解决实际问题，体验轴对称在现实生活中的广泛应用。

教学难点：将实际问题抽象为数学问题，轴对称的性质在现实生活中的灵活应用。

五、教学过程析

本节课我创设问题再现-知识回顾—探究思考-应用提升-方法总结的结构，借助独立思考、协作交流等方法，力求激发学生的好奇心和求知欲，为学生构建和谐高效的课堂，共设计了以下八个教学环节：第一环节：问题再现；第二环节：温故知新；第三环节：探究活动一；第四环节；探究活动二；第五环节:拓展延伸；第六环节：反思收获；第七环节：分层作业。 第一环节：问题再现

用PPT展示第五章课本或练习册中出现的常见有关线段极值问题，分三大类：

第一类：“两点之间线段最短”公理的应用

第二类：典型的“将军饮马”问题

学生活动：

1.

让学生回忆第五章常见的典型线段极值问题，

2.

启发学生能够结合自己对知识的掌握情况说出每张图运用的知识要点。

2

要求表达清晰、语言精练。

[活动目的]本环节的设置使学生由常见的问题再现回顾所学知识要点及思想方法，努力使知识明晰化、条理化，让学生亲自经历知识发展和应用过程，更好地形成自己的知识体系；给学生一个自由思考的空间和展示自我的舞台，激发学习兴趣；让他们尽情发挥自己的想象力，真正体现学生的主体地位。

第二环节：温故知新

1.

如图，作点A关于直线MN的对称点A1，

在直线

MN上任取一点B，连结AB和A1B，则AB A1B 。

2.

如图，△ABC与△DEF关于直线L对称. 则线段CF 被L ，BC = ,∠ C = ∠ . M

AA

B

E

D

B

N

C

F

第三环节：探究活动一

1.

问题思考：

L

问题（1）：如图1，学校操场上A、B两点如何走路径最短，为什么? 问题（2）：如图2，在A、B两地之间有一条白线l，从A点出发，脚踩到l上后再到达B地，想一想，你脚踩哪里会使所走路径最短？

问题（3）：如图3，如果A、B两点在l的同侧呢?从A地出发，脚踩到l上后再回到B地，脚踩在哪里会使所走路径最短?请同学们思考和第（2）问的联系，试着画一画。

[活动目的]探究一结合实际情景由浅入深设置3个问题：问题1侧重最基础的平面内两点之间线段最短问题；问题2将问题过渡为直线两侧的两点到已知直线的距离之和最短问题；问题3主要解决典型的直线同侧两点到已知直线的距离之和最短问题。

3

让学生结合实际情景通过三个问题的思考，由简到难，层层深入，启发思考，引导学生自主发现问题之间的深入与联系，学会将实际问题抽象为数学问题，运用转化的数学思想形成较完整的认知结构，认识问题考查的本质，不仅能提高分析问题的能力。同时针对学生运用数学语言表达的能力还比较弱，语言不够规范的现象，教师要注意加强渗透和引导。

2.交流探讨

探讨问题：在（3）的条件下，若P1为直线MN上任意一点（不与P重合），连

接AP1、BP1，试说明 AP1+BP1›AP+BP。

分析：∵点A、A1关于直线MN对称

∴ AP=A1P， AP1=A1P1（ ）

又∵在△A1P1B中

A1P1+BP1›A1B（ ）

∴A1B=A1P+BP=AP+BP（ ）

∴ AP1+BP1›AP+BP 此时A1、P、B三点共线，所以AP+BP最短。

A

B

P

AP[活动目的] 本环节采取了交流探讨的形式，让学生在活泼又不失紧张的学习氛围中快乐学习。提前将全班分成四人小组，在小组长的组织下讨论解决问题的方法，并思考每一步的理由，然后小组内互相讲解，最后由教师选一位学生代表分享他们的交流结果，让学生“帮”学生，争取每位学生都学到有价值的数学。 活动注意事项：在此环节中，教师应留有一定的时间供小组探讨交流，让优秀的孩子主动为暂时落后的学生讲解，达到协作共赢的目的。教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解和学法指导.同时教学中应通过恰当的方式让学生理解解题的依据. 3. 学以致用1 思考比拼：如图，已知点A、B是直线MN同侧两点，

点A1、A关于直线MN对称。连接A1B交直线MN 于点P,连接AP。

（1）若A1B＝5cm，则AP+BP的长为 。 （2）若AP+BP的长为5cm，则A1B＝ 。

A

A1

P

B

N

M

4

应用（2）：某乡为了解决张村A和李村B的饮水问题，决定在河岸MN上打开一个缺口P将河水引入到张村A和李村B。为了节约资金，使修建的水渠最短，应将缺口P修建在哪里?请你利用所学知识解决这一问题，并用红色线段画出水渠。

[活动目的]设计这组探究性问题，学生先独立思考解决，再小组交流讨论.让学生由（1）中的计算感触点关于直线对称的性质应用，让学生体会问题的条件与结论互换对解题的影响，对为第（2）问将直线同侧两点到已知直线的距离最短，转化为直线异侧两点到已知直线的距离之和最短提供了解决思路和突破口，本环节的设置是为了借助本题充分发挥学生的想象力及语言表达能力，有条理地表达自己的解题思路，同时教师要注意点拨，引导学生在相互借鉴中优化解决问题的策略和技巧. 第四环节：探究活动二

1.

问题思考：

问题（1）：如图，已知点Ｐ在∠AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，连接MN，分别交OA，OB于C，D。连接PC、PD。若△PCD的周长为10cm,则MN的长为

。

MC

O

A

D

.p

问题（2）：如图，已知点Ｐ是∠AOB内任意一点，点M、N 分别是点P关于OA、OB的对称点，连接MN，分别交OA，OB于C，D。连接PC、PD。若MN＝10cm，则△PCD的周长为 。

2.

学以致用3：

N游戏四：现操场上有两条白线OA、OB交于点O, 体育老师要求大家从P点出发，分别踩到OA、OB上某一点后，再回到P点。如果大家的速度相同，你知道脚踩

在哪两点用时最短?根据题意画出图形，并说明理由。

O

.A

p

B

5

[活动目的]此环节三个问题的设置是在探究活动一的基础上将三点共线问题上升为四点共线，由两条线段之和最短问题演变为三条线段之和最短问题，由于学生已经历了探究一的学习过程，解决此问题串为学生在知识和能力方面都实现了正迁移。运用轴对称性质找已知点的对称点后，相当于将问题转化为两条直线外侧两点到这两条直线的距离之和最短，借助图形演示，易于发现P1、C、D、P2四点共线时，PE+PF+EF最短。

第五环节

拓展延伸

如图，已知点Ｐ是∠AOB内任意一点，OP=10cm，∠AOB=30º，点C、D分别为OA、OB上的两个动点，则△PCD的周长的最小值为

分析：作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，

连接P1P2,分别交OA、OB于点C和点D. 则 PC=P1C, PD=P2D ∴ PC+CD+PD=P1C+CD+P2D=P1P2

此时P1、C、D、P2四点共线，即P1C+CD+P2D最短

∴△PCD的周长最短为P1P2的长。

又∵∠POC=∠P1OC,∠POD=∠P2OD ,且∠AOB=30º，OP=OP1=OP2 =10cm ∴∠P1OP2=∠POP1+∠POP2=2∠AOB=60º

∴

△P1OP2为等边三角形 ∴ P1P2=OP=10cm

∴△PCD的周长的最小值为10cm。

D

P1

C

O

P.PB

[活动目的]：拓展延伸是求线段极值问题的一类典型问题的代表，实质上是对学以致用3的一种变式思考。两者模型类似，条件强化，在原有的基础上引进特殊轴对称图形——等边三角形的参与，使图形更加特殊化，将轴对称的性质和轴对称图形有效结合，拓展了学生的思维空间，提升了思考与探究能力，为解决综合问题提供了思路和方法。

第六环节：方法讨论

情况一：已知直线异侧两点求线段和的最小值

情况二：已知直线同侧两点求线段和的最小值（著名的“将军饮马”问题）

1.

找：找定点（一般指2个）和定线；

2.作：作其中一个定点关于定线的对称点；

6

3.连：连接对称点与另一点，所得线段与定线的交点即为所求。

情况三：多条（3条）线段和的最小值

通常找定点关于定线的对称点，将其转化为“两点之间线段最短问题”。

活动目的：引导学生结合本节课的学习活动，讨论方法，积累经验，为以后有关极值问题奠定基础；鼓励学生小组讨论、大胆发言，增强学生对数学学习的探究意识，培养学生总结归纳学习方法及解题技巧的能力。

第七环节

反思收获

1.学生畅所欲言

（1）你学到了哪些知识？（2）你体会到哪些思想方法？（3）你还有哪些困惑？

2.师生共勉（PPT展示）

线段之和求最值 定点定线找对称 定线异侧直接连

定线同侧需转化 线段公理不离弃 多点共线总合意 活动目的：引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程。

活动注意事项：教师一定让学生畅谈自己的切身感受，鼓励其他学生进行补充纠正，教师也应进行适时的点拨和强调，激发学生对数学的学习兴趣与信心. 第八环节

分层作业

必做题：

1. 在作业本上抄题完成本节课“问题再现”中的两个问题；

2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，

请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小。

选做题：自己设计一道和本节课所学内容有关的一道实际应用题，尝试解决并要求写出作法和分析。

活动目的：作业应该体现出课堂学习的延续性，作业分层设计，可以让不同程度的学生都有不同的收获，体现新课标理念。

A

D

E

B

C

7

注意事项：首先应激励学生独立完成作业，其次注意提高效率，最后应鼓励学生进行反思，使学生的思维进一步升华。

六、教学设计反思

1.学生通过梳理知识体系，在原有的知识体系上进行专题复习，不仅能提高分析问题的能力，而且能够发现自身的不足，通过查漏补缺，尽快完善知识结构。变式思考，可以鼓励学生从多角度思考问题，充分激发学生的创新能力，使学生的思维多向开花，极大的调动学生学习数学的热情！课堂上让学生充分发表自己的见解。教师应注意捕捉有效信息，从激励学生的角度出发，给予学生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，激发学生的学习兴趣。针对不同的问题，应大胆放手给学生，注意培养学生简单合情说理的能力，观察分析的能力，总结归纳的能力等。

2.讨论时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应注重学生几何语言的培养，对课堂生成的问题，应予以重视，及时解决，教师还应激励学生将课内学习延伸到课外，开阔学生的视野。

3.对于初一学生来说，接触到的专题复习次数较少，因此教师应以学情为依据，习题的选择要有代表性和梯度，既能激发求知的兴趣，又不打击孩子探究的积极性。课堂上多关注学生的思考过程及存在的疑惑，不急于呈现结果，因势利导，顺学而教，更多的从数学思想方法上多加以渗透和引导，增强学生主动发现和探究操作的意识，最终提升发现问题、分析问题和解决问题的能力。

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