复习参考题优秀教案范文

§2.7 函数的图象

考纲展示►

1.理解点的坐标与函数图象的关系．

2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．

3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．

考点1 作函数的图象

1.描点法作图

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．

(3)描点，连线．

2．图象变换

(1)平移变换：

a>0，左移a个单位①y＝f(x)的图象――→y＝________的图象；

a<0，右移|a|个单位b>0，上移b个单位②y＝f(x)的图象(2)对称变换：

①y＝f(x)的图象y＝________的图象；②y＝f(x)的图象y＝________的图象；

③y＝f(x)的图象y＝________的图象；

④y＝a(a>0且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换：①y＝f(x)的图象

x――→y＝________的图象．

b<0，下移|b|个单位

y＝________的图象；②y＝f(x)的图象

a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变――→y＝________的图象．

0

(4)翻转变换：

x轴下方部分翻折到上方①y＝f(x)的图象――→y＝________的图象；

x轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧②y＝f(x)的图象――→y＝________的图象．

原y轴及左侧部分去掉，右侧不变[点石成金] 函数图象应用的常见题型与求解策略

(1)研究函数性质：

①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．

(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. [方法技巧] 1.识辨函数图象的方法

(1)知式选图

①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

④从函数的周期性，判断图象的循环往复．

(2)知图选式

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性．

③从图象的对称性，观察函数的奇偶性．

④从图象的循环往复，观察函数的周期性．

2．常见结论

(1)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称．

(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称．

(3)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(4)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝0，那么y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．

[易错防范] 1.图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

2．图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．

3．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．

真题演练集训

1．函数y＝2x－e在[－2,2]的图象大致为(

) 2|x|

A

B

C

D 2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝mx＋1与y＝f(x)图象的交点x为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(

) i＝1A．0 C．2m

3．函数f(x)＝B．m

D．4m

ax＋b的图象如图所示，则下列结论成立的是(

) x＋c2

A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

)

A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 函数图象的变换问题

1．对称变换

1xx通过特殊值，我们可以得到函数y＝a与y＝(a>0，a≠1)的图象关于y轴对称，函a111x－x数y＝logax与y＝logx(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称，原因是y＝＝a，y＝logxaaa＝－logax.推广到一般，可以得到：函数f(x)的图象与函数f(－x)的图象关于y轴对称，函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于x轴对称．

2．平移变换

(1)左右平移变换

一般地，函数图象左右平移变换时，当h>0时，将函数f(x)的图象向右平移h个单位长度后，得到函数f(x－h)的图象；向左平移h个单位长度后，得到函数f(x＋h)的图象．

(2)上下平移变换

一般地，函数图象上下平移变换时，当h>0时，将函数f(x)的图象向上平移h个单位长度后，得到函数f(x)＋h的图象；向下平移h个单位长度后，得到函数f(x)－h的图象．

3．翻折变换

(1)画函数f(|x|)的图象时，先画出函数f(|x|)在y轴右侧的图象，再将此部分图象关于y轴翻折，即得函数f(|x|)在y轴左侧的图象．

(2)画函数|f(x)|的图象时，先画出函数f(x)的图象，再将x轴下方的图象关于x轴翻折，即得函数|f(x)|的图象．

[典例1] 为了得到函数y＝lg x＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(

) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

[典例2] 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x.那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(

) A．10个 B．9个 C．8个D．1个

2§2.8 函数与方程

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1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

考点1 函数零点所在区间的判定

1.函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．

3．函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间________上有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个________也就是方程f(x)＝0的根．

4．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法．

函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数．

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的________．

(2)若图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有________零点．

二次函数的零点．

(1)二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是________．

(2)函数y＝(k－8)x＋x＋1至多有一个零点，则k的取值范围为________．

22

[典题1] (1)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(

) 111111A.， B．， C.0， D．，1

428482 (2)如图是二次函数f(x)＝x－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝e＋f′(x)的零点所在的大致区间是(

) 2x

A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 1x－23 (3)设函数y＝x与y＝的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则2x0所在的区间是________．

[点石成金] 确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法

(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)f(b)<0时，函数在区间(a，b)上至少有一个零点．

(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．

考点2 判断函数零点个数

(1)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)用“二分法”求方程x－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．

3x

函数零点个数的判断方法：直接求零点；零点存在性定理；图象交点个数．

(1)若函数f(x)＝ax＋b的一个零点是2，则函数g(x)＝bx－ax的零点是________．

21111 (2)给出三个区间0，，2，，，1，则函数f(x)＝x＋ln x的零点所在的一个eeee区间是________．

[典题2] (1)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则21x10关于x的方程

f(x)＝在0，上的根的个数是(

) 310A．1 B．2 C．3 D．4 (2)]函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图①所示；函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图②所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝(

)

A．14 B．12 C．10 D．8 [点石成金] 判断函数零点个数的三种方法

(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数. [方法技巧] 1.判定函数零点的常用方法有：

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

3．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)<0⇔函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．

4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

[易错防范] 1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．

2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

真题演练集训

3x－1，x＜1，1．设函数f(x)＝x2，x≥1，

则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(

) 22A.，1 B．[0,1] C.，＋∞ D．[1，＋∞) 332－|x|，x≤2，2．已知函数f(x)＝2x－2，x＞2，

函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点①，则b的取值范围是(

) 7777A.，＋∞ B．－∞， C.0， D．，2

444412x23．已知函数f(x)＝x＋e－(x<0)与g(x)＝x＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，2则a的取值范围是(

) A.－∞，1－1，e－e，1 B．(－∞，e) C. D．

eee|x|，x≤m，4．已知函数f(x)＝2x－2mx＋4m，x＞m，

其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

x，x≤a，5．已知函数f(x)＝2x，x>a.3

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．