习题2.2课堂实录及点评

《对数及对数函数的性质》的教学

(1)、这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．

思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)． 推进新课

新知探究

提出问题

(1)根据你掌握的知识，目前比较数的大小有什么方法？

(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？

(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？

活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．

问题(1)学生回顾数的大小的比较方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，又用到某些函数的图象和性质，要分别对待，具体问题具体分析．

问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．

问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．

讨论结

果：(1)比较数的大小：

①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．

②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．

③计算出每个数的值，再比较大小．

④是两个以上的数，有时采用中间量比较．

⑤利用图象法．

⑥利用函数的单调性．

(2)常用的方法有定义法、图象法、复合函数的单调性的判断．

利用定义证明单调性的步骤：

①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2. ②作差或作商(同号数)，注意变形．

③判断差的符号，商与1的大小．

④确定增减性．

对于复合函数y＝f[g(x)]的单调性的判断步骤可以总结为：

当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；

当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．

又简称为口诀“同增异减”．

(3)有两种方法：定义法和图象法． 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．

图象法：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．

应用示例

例

比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4；log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)；(4)log75，log67. 活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或直接利用对数函数的单调性来完成；作出图象，利用图象法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(3)因为底数的大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(4)所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．

解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如图5. 图5 在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，

所以log23.4＜log28.5. 解法二：由函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4＜8.5，

所以log23.4＜log28.5. 解法三：直接用计算器计算，得log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5. 解法四：作差log23.4－log28.5＝log23.48.5，因为2＞1，3.48.5＜1，根据对数函数的性质，

所以log23.48.5＜0，即log23.4＜log28.5. (2)log0.31.8＞log0.32.7. (3)解法一：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9. 当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9. 解法二：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．

令b1＝loga5.1，则

，令b2＝loga5.9，则 . 当a＞1时，y＝ax在R上是增函数，且5.1＜5.9，所以b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，y＝ax在R上是减函数，且5.1＜5.9，所以b1＞b2，即loga5.1＞loga5.9. 解法三：作差loga5.1－loga5.9＝loga5.15.9，5.15.9＜1，由对数函数的性质，

当a＞1时，loga5.15.9＜0，因此loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，loga5.15.9＞0，因此loga5.1＞loga5.9. (4)解法一：因为函数y＝log7x和函数y＝log6x都是定义域上的增函数，

所以log75＜log77＝1＝log66＜log67. 所以log75＜log67. 解法二：直接利用对数的性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67. 点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用. 变式训练

比较log20.7与

两值的大小．

解：考查函数y＝log2x. 因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．

又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝log13x，

因为0＜13＜1，所以函数

在(0，＋∞)上是减函数．

又1＞0.8，所以 .