习题1.2教学目标

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教学方法

2.1.2 指数函数及其性质（一）

新授[来源学科网ZXXK]授课教师

教学课时

1

1．

理解指数函数的概念；

2．

掌握指数函数的图象、性质；

3．

培养学生实际应用函数的能力．

[来源学&科&网]指数函数的图象、性质．

指数函数的图象性质与底数a的关系．

讲授法

启发式教学

动态修改

教学基本程序

一、复习引入：

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂

x

次后，得到的细胞个数

y

与

x 的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3，4，…，x

细胞个数：2，4，8，16，…，y

由上面的对应关系可知，函数关系是y2．

在y2中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 二、新授内容：

系数为1 1．指数函数的定义：

探究1：指数函数的结构特征如右图：

自变量

y＝1·a x

常数

函数ya(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

探究2：为什么要规定a＞0,且a1呢？

①若a=0，则当x＞0时，a=0；当x0时，a无意义. ②若a＜0，则对于x的某些数值，可使a无意义. 如(2)，这时对于x=x=xxxxxxx1，41，…等等，在实数范围内函数值不存在. 2x③若a=1，则对于任何xR，a=1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．在规定以后，对于任何xR，ax

都有意义，

且a＞0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).

练习：下列函数中，哪些是指数函数?放入集合A中．

⑴ y＝10；⑵

y＝10xx＋1x；⑶

y＝10＋1；⑷

y＝2·10；

10xx⑸ y＝(10)x；⑹

y＝(10a)x（a＞－10，且a≠－9）；⑺

y＝x；⑻

y＝xx．

解：

⑴

y＝10

⑹

y＝(10a)x（a＞－10，且a≠－9）

xxA 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=a+k (a＞0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=ax (a＞0,且a1),它可以化为1，其中1＞0，且11. y=aaax2.指数函数的图象和性质：

x11在同一坐标系中分别作出函数y=2，y=，y=10，y=的图象. 210xxx列表如下：

x y=2

y=(x…

-3 -2 -1 0.5 2 -0.5 0.71 1.4 0 1 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 …

…

…

0.13 0.25 8 4 1x)

…

20.71 0.5 0.25 0.13 …

x y=10

x…

-1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5

[来源:Zxxk.Com]…

…

0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …

0.321y=

…

31.62 10 3.16 1.78 1 0.56

0.1 0.03 …

10[来源:Z+xx+k.Com]x

我们观察以上的图象特征，就可以得到yax(a0且a1)的图象和性质．

a＞1 60＜a＜1 655

图

象

-4-244332211110-1246-4-2

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

0-1246

性

质

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数

（4）在R上是减函数

3.底数a对指数函数y＝a的图象有何影响? ⑴

a＞1时，图象向右不断上升，并且无限靠近x轴的负半轴；

0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且无限靠近x轴的正半轴．

⑵对于多个指数函数来说，底数大的图象在y轴右侧的部分越高(简称：右侧底大图高)．

x⑶指数函数ya与y()的图象关于y轴对称．

x1ax

三、讲解范例：

例1．已知指数函数f(x)＝ax (a＞0，且a≠1)的图象过点(3,)，求f(0)，f(1)，

f(－3)的值. 解：因为f(x)＝a的图象经过点(3,)，所以f(3)＝，即a＝，解得a，

于是f(x).所以f(0)＝＝1，f(1)＝＝3例2．比较下列各题中两个值的大小：

①1.72.5313x3013，f(－3)＝1＝1.[来源学#科#网]

，1.7； ②0.830.1，0.80.2； 解：利用函数单调性

①

1.72.5与1.7的底数是1.7，它们可以看成函数

y=1.7，当x=2.5和3时的3x

1.7函数值；因为1.7＞1，所以函数y=1.7在R是增函数，而2.5＜3，所以，＜1.7；

②

②

0.80.13x2.5与0.80.2的底数是0.8，它们可以看成函数

y=0.8，

x当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，

所以函数y=0.8在R是减函数，而-0.1＞-0.2，所以，0.8x0.1＜0.80.2；

③ 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 四、练习： ⑴ 用“＞”或“＜”填空：

1414004 ； ；5.06 5.06；0.193 0.19. 434335056072这是一道幂值与“1”的大小比较的题，它不仅可以解决一类底数相同指数不同的幂的大小问题，而且还为后继内容，如函数的奇偶性、不等式的证明等做了铺垫. ⑵ 比较大小：(2.5) ,(2.5)

（备用题）

四、课堂小结

1．

指数函数概念；

2．

指数函数的图象和性质．

五、课后作业：

1．阅读教材第54-----56页；

2．《基训》39页自学检测．

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