小结优秀说课稿

章末复习提升课

集合的概念与运算

[问题展示]

(必修1P12习题1.1 B组T3)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B.

解：①当a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}．

所以A∩B＝∅，A∪B＝{1，3，4}．

②当a≠3时，A＝{3，a}，B＝{1，4}．

(ⅰ)当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}；

(ⅱ)当a＝4时，A∩B＝{4}，A∪B＝{1，3，4}；

(ⅲ)当a∉{1，3，4}时，

A∩B＝∅，A∪B＝{1，3，4，a}．

设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，

B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．

(1)若A∩B≠∅，求a的值；

(2)若A∪B＝{1，2，3，4}，求a的值；

(3)若A∩B＝∅，求a的范围．

解：(1)若a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}．A∩B＝∅.

所以a≠3，所以A＝{3，a}．

因为A∩B≠∅，所以a∈{1，4}．所以a＝1或4.

(2)若a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，3，4}与A∪B＝{1，2，3，4}矛盾，故a≠3.

所以A＝{3，a}，所以A∪B＝{1，3，4，a}．

所以a＝2.

(3)当a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}，此时A∩B＝∅；

当a≠3时，A＝{3，a}．

由A∩B＝∅知，a≠1且a≠4.

所以a的范围为(－∞，1)∪(1，4)∪(4，＋∞)．

【拓展1】

设A＝{x|(x－3)(x－a)<0}，B＝{x|(x－1)·(x－4)>0}．

(1)若A∩B＝∅，求a的范围；

(2)若A⊆∁RB，求a的范围．

解：(1)因为A∩B＝∅，且B＝{x|x<1或x>4}．

所以当A＝∅时，a＝3.

当A≠∅时，

①若a<3，则A＝{x|a

由数轴图知，要使A∩B＝∅，

则1≤a<3.

②若a>3，则A＝{x|3

由数轴图知，要使A∩B＝∅，

则3

综上所述，若A∩B＝∅，则a的范围为1≤a≤4.

(2)因为∁RB＝{x|1≤x≤4}．

因为A⊆∁RB.

当A＝∅时，a＝3.

当A≠∅时，

①若a<3，则A＝{x|a

由数轴图知，

要使A⊆∁RB，

则1≤a<3.

②若a>3，则A＝{x|3

同理可得3

综上所述，若A⊆∁RB，则a的范围是1≤a≤4.

【拓展2】

设集合A＝{x|(x－3)(x＋a)<0，a∈R}，集合B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}．

(1)若A∩B的子集个数为4，求a的范围；

(2)若a∈Z，当A∩B≠∅时，求a的最小值，并求a取最小值时A∪B. 解：(1)因为B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}

＝{x∈Z|－1

若－a>3，即a<－3时，A＝{x|3

此时，A∩B＝∅，则A∩B子集的个数为1，不合题意．

若－a＝3，即a＝－3时，A＝∅，A∩B＝∅，则A∩B子集的个数为1，不合题意．

若－a<3，即a>－3，此时A＝{x|－a

由A∩B的子集个数为4知，A∩B中有2个元素．所以0≤－a<1，即－1

(2)由(1)知，B＝{0，1，2，3}，且当a≤－3时，A∩B＝∅.

故a>－3，此时A＝{x|－a

要使A∩B≠∅，则－a<2.

即a>－2，又a∈Z，所以a的最小值为－1.

当a＝－1时，A＝{x|1

所以A∪B＝{x|1

函数的图象与解析式

[问题展示]

(必修1 P39习题1.3 A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式．

解：画函数f(x)的图象．

第一步：作出f(x)＝x(1＋x)，x≥0的图象．

11因为f(x)＝x(1＋x)＝x2＋x＝(x＋)2－(x≥0)的图象如图1(实线部分)，即抛物线y＝(x2411＋)2－位于y轴右方(含原点)的部分．

24

第二步：因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以它的图象关于原点对称，因此将图1的实线(即f(x)＝x(1＋x)，x≥0的图象)关于原点对称后，即得函数f(x)在R上的图象(如图2)．

再求f(x)的解析式．当x<0时，－x>0，[来源学&科&网]

[来源:Z&xx&k.Com]因为x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．

所以f(－x)＝－x(1－x)．

又f(x)是定义在R上的奇函数．

所以f(－x)＝－f(x)．

所以－f(x)＝－x(1－x)．

即f(x)＝x(1－x)．

x(1＋x)，x≥0，所以f(x)的解析式为f(x)＝

x(1－x)，x<0，也可以写成f(x)＝x(1＋|x|)．

定义在R上的偶函数f(x)在y轴左方(含原点)的图象如图3所示，且解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≤0)．

图3 (1)补全函数f(x)的图象；

(2)求出函数f(x)的解析式；

(3)讨论方程f(x)＝d的根的个数；

(4)作出y＝|f(x)|的图象．

解：(1)f(x)的图象如图4.

图4 c＝0－b＝－1a＝b2，即(2)由图象得2a.

11111a－b＋c＝4f(－2)＝442解之得a＝－1，b＝－1，c＝0.

所以当x≤0时，f(x)＝－x2－x.

当x>0时，－x<0.

所以f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.

又f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝－x2＋x.

所以f(x)的解析式为

2－x－x，x≤0，f(x)＝2

－x＋x，x>0.f(0)＝0也可以写成f(x)＝－x2＋|x|.

(3)由y＝d的图象(图略)，y＝f(x)的图象知(如图4)，

1当d>时，方程f(x)＝d无实根；

41当d＝或d<0时，方程f(x)＝d有两个实根；

4当d＝0时，方程f(x)＝d有三个实根；

1当0

4(4)y＝|f(x)|的图象如图5.

图5

11【拓展1】

已知函数f(x)的图象关于点(－，0)对称．当x>－时，f(x)＝x(1＋x)．

22(1)求f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象，并写出单调区间．

111解：(1)设f(x)＝x(1＋x)(x>－)上的任一点为P(x1，y1)(x1>－)，P关于(－，0)的对称222点为Q(x，y)，

则x1＝－x－1，y1＝－y，

所以－y＝(－x－1)(1－x－1)．

即y＝－x(1＋x)，

所以f(x)＝

1－x(1＋x)，x<－2.(2)f(x)的图象为

1x(1＋x)，x>－，2

11由图象知，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(－，＋∞)．无单调减区间．

22【拓展2】

已知函数f(x)的图象关于x＝－1对称，当x≥－1时，f(x)＝x(1－x)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象，并写出单调区间．

解：(1)设f(x)＝x(1－x)(x≥－1)上的任一点P(x1，y1)．

P点关于直线x＝－1的对称点为Q(x，y)．

则x1＝－2－x，y1＝y.

所以y＝(－2－x)[1－(－2－x)]＝－(2＋x)(3＋x)．

x(1－x)，x≥－1，所以f(x)＝

－(x＋2)(x＋3)，x<－1.(2)f(x)的图象为[来源学科网ZXXK]

51由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－]，[－1，]，

2251单调递减区间为[－，－1]，[，＋∞)．

22

函数的基本性质

1＋x2[问题展示]

(必修1 P44复习参考题

A组T8)设f(x)＝，求证：

1－x2(1)f(－x)＝f(x)；

1(2)f()＝－f(x)(x≠0)．

x

1＋x2证明：(1)因为f(x)＝的定义域为{x|x≠±1且x∈R}，

1－x2任取x∈{x|x≠±1且x∈R}，

1＋(－x)21＋x2有f(－x)＝＝＝f(x)，

1－(－x)21－x2即f(－x)＝f(x)．

(2)任取x∈{x|x≠±1，x≠0且x∈R}，

1则∈{x|x≠±1，x≠0且x∈R}，

x11＋()22xx＋11＋x21所以f()＝＝＝－＝－f(x)．

x12x2－11－x21－()x1即f()＝－f(x)(x≠0)．

x

a＋x21已知f(x)＝2，对于定义域D内的任意x均有f()＋f(x)＝0恒成立．

xb－x(1)求a，b的值；

111(2)求f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()的值；

23100(3)当D＝R时，求证f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

a＋x21解：(1)因为f(x)＝2且对于定义域D内的任意x均有f()＋f(x)＝0恒成立．

xb－x1a＋2xa＋x2则＋＝0恒成立．

1b－x2b－2x即(b－a)x4＋(2ab－2)x2＋(b－a)＝0恒成立．

b－a＝0因为x≠0，所以.

2ab－2＝0所以a＝b＝1或a＝b＝－1.

1＋x2－1＋x21－x2(2)由(1)知，f(x)＝，或f(x)＝＝.

1－x2－1－x21＋x21＋x2当f(x)＝时，

1－x21＋(－x)21＋x2f(－x)＝＝＝f(x)．

1－(－x)21－x21－x2当f(x)＝时，

1＋x21－(－x)21－x2f(－x)＝＝＝f(x)．

1＋(－x)21＋x2所以f(－x)＝f(x)．

111所以f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()

23100111＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(100)＋f()＝0×99＝0.

23100111即f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()＝0.

231001－x2(3)证明：当D＝R时，仅有f(x)＝，

1＋x2设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两数，且x1

1－x21－x2122(x2＋x1)(x2－x1)f(x1)－f(x2)＝＝2－2.

1＋x11＋x2(1＋x221)(1＋x2)因为x1，x2∈(0，＋∞)，

所以x2＋x1>0.

又x10.

2而且(1＋x21)(1＋x2)>0.

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

1－x2所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

1＋x2

1－xn*【拓展1】

已知f(x)＝n(n∈N)．

1＋x1(1)证明f(x)＋f()＝0；

x(2)若f(x)的图象关于y轴对称，求证n为正偶数．

1－xn证明：(1)因为f(x)＝.

1＋xn11－()nnxx－11－xn1所以f()＝＝＝－＝－f(x)．

x1nxn＋11＋xn1＋()x1所以f()＋f(x)＝0.

x(2)因为f(x)的图象关于y轴对称，

所以f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)为偶函数．

所以f(－x)＝f(x)恒成立．

1－(－x)n1－xn

即＝恒成立．

1＋(－x)n1＋xn即有xn＝(－x)n恒成立．

则有(－1)n＝1恒成立．

又n∈N*，所以n为正偶数．

a＋bx21【拓展2】

已知f(x)＝2(b>0)在定义域内恒满足①f(0)＝1；②f()＋f(－x)＝0. x1＋cx(1)求a，b，c的值；

(2)设g(x)＝ax2＋bx＋c. (i)求函数g(x)的值域与单调区间；

x1＋x2＋x31(ii)求证：[g(x1)＋g(x2)＋g(x3)]≥g33. a＋bx21解：(1)因为f(x)＝2且f(0)＝1，f()＋f(－x)＝0恒成立．

x1＋cx11＋b·()2x1＋b·(－x)2a所以＝1，即a＝1，且＋＝0恒成立．

1121＋c·(－x)21＋c·()x即(b＋c)x4＋(2bc＋2)x2＋(b＋c)＝0恒成立．

b＋c＝0因为x≠0，所以.

2bc＋2＝0又b>0，所以b＝1，c＝－1.

综上所述，a＝1，b＝1，c＝－1.

15(2)由(1)知，g(x)＝x2＋x－1＝(x＋)2－.

24511(i)g(x)的值域为[－，＋∞)，在(－∞，－]上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数．

422x1＋x2＋x31(ii)证明：因为[g(x1)＋g(x2)＋g(x3)]－g33

x1＋x2＋x32x1＋x2＋x31222＝(x1＋x2＋x3＋x1＋x2＋x3－3)－－1

333＋1222x1＋x2＋x32＝(x1＋x2＋x3)－33

122＝(2x21＋2x2＋2x3－2x1x2－2x2x3－2x3x1)

91＝[(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x1)2]≥0.

9x1＋x2＋x31所以[g(x1)＋g(x2)＋g(x3)]≥g33.

1．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1，1，2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(

)

A．{－1，－2}

C．{－2，1}

B．{1，2} D．{－1，2} 解析：选A．因为Q＝{1，2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A．

x2．f(x)＝在(

) 1－xA．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数

B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数

C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数

D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数

x11解析：选C．f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单x1－x1－x调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．

3．已知点P1(x1，2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为(

) A．7

B．8

C．9

D．10 bbbb解析：选C．依题意得x1＋x2＝－，f(x1＋x2)＝f(－)＝a(－)2＋b(－)＋9＝9.

aaaa14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)2＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________．

解析：由题意得f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，

f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

所以f(x)的周期为T＝2.

所以f(0)＝f(2)＝…＝f(2 016)＝0；

f(1)＝f(3)＝…＝f(2 017)；

又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝0.

答案：0 45．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤mx恒成立，则m－n的最小值是________．

解析：因为当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，

所以n≤[f(x)]min且m≥[f(x)]max.

所以m－n的最小值是[f(x)]max－[f(x)]min.[来源学科网]

又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈[－3，－1]时，函数的最值与x∈[1，3]时的4最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，且f(1)>f(3)，

x所以[f(x)]max－[f(x)]min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.

答案：1 bx＋116．已知f(x)＝(a，b为常数，ab≠2)，且f(x)·f()＝k为定值．

x2x＋a(1)求k的值；

1(2)若f(0)＝. 4①求证f(x)在(－∞，－2)上是增函数；

②求证f(x)的图象关于(－2，1)对称．[来源:Zxxk.Com]

b＋1(bx＋1)(b＋x)bx2＋(b2＋1)x＋b1bx＋1x解：(1)因为f(x)·f()＝·＝＝.

x2x＋a2(2x＋a)(2＋ax)2ax2＋(a2＋4)x＋2a＋ax

又由条件知当x≠0时，恒有：

bx2＋(b2＋1)x＋b1f(x)·f()＝2＝k(常数)．

x2ax＋(a2＋4)x＋2a1则f(1)·f(1)＝f(2)·f()＝k.

2b2＋2b＋12b2＋5b＋2即2＝，

a＋4a＋42a2＋10a＋8亦即2ab2＋2a＝a2b＋4b，

所以(ab－2)(a－2b)＝0.

因为ab≠2，

所以a－2b＝0，即a＝2b，

b＋1＝b＋1＝1.

所以k＝f(1)＝a＋22(b＋1)42221(2)证明：①由(1)知，当a＝2b时，k为常数，

4bx＋1此时f(x)＝.

2x＋2b2x＋111因为f(0)＝＝.所以b＝2.所以f(x)＝.

2b42x＋4设x1，x2是(－∞，－2)上的任意实数，且x1

2x1＋12x2＋16(x1－x2)所以f(x1)－f(x2)＝－＝.

2x1＋42x2＋4(2x1＋4)(2x2＋4)因为x1，x2∈(－∞，－2)，

所以x1＋2<0，x2＋2<0.

即(2x1＋4)(2x2＋4)>0，

又x1

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以f(x)在(－∞，－2)上是增函数．

②设P(m，n)是f(x)的图象上任一点，它关于(－2，1)对称的点为Q(x0，y0)．

则m＝－4－x0，

n＝2－y0.

2m＋1且n＝.

2m＋42(－4－x0)＋1所以2－y0＝，

2(－4－x0)＋4－2x0－72x0＋1所以y0＝2－＝，

－2x0－42x0＋4

即点Q(x0，y0)也在函数f(x)＝2x＋1上，

2x＋42x＋1所以函数f(x)＝的图象关于点(－2，1)对称．

2x＋4