习题3.2优秀教案内容

.2.2 函数模型的应用实例…

高中数学

1教学目标

知识与技能目标

1.能根据具体实例提供的图像、数据等信息，求出常见初等函数的解析式；

2.能利用已知的函数模型解决实际问题，

培养学生抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力。

过程与方法目标

1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会利用已知的函数模型解决实际问题的思维过程；

2.渗透数形结合、化归转换等数学思想方法。

情感、态度与价值观目标

1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；

2.经历利用已知函数模型解决实际问题的过程，领悟“数学来源于实践又服务于实践”的辩证观点，培养学生的应用意识和探索精神。

2学情分析

学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了利用函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础。但学生对实际问题都有畏惧情绪，读不懂题意，对实际问题的抽象概括能力比较差，

函数模型的应用意识和能力比较弱。

3重点难点

教学重点：根据实例中的图像、数据等信息求出具体的函数模型，并解决实际问题。教学难点：从实际问题中抽象概括出数学本质，完成从图像语言向符号语言的转化。

4教学过程 4.1 第一学时

评论(0) 教学目标

评论(0) 学时重点

评论(0) 学时难点 教学活动

活动1【导入】一、复习旧知，引入新课

（一）复习已学的常见初等函数及图象

一次函数： y=kx+b,(k≠0) 二次函数: y=ax2+bx+c,(a≠0) 指数函数:y=ax,(a>0且a≠1)

对数函数:y=logax,(a>0且a≠1) 幂函数:

师生活动：

y=xα,(α为常数) 老师播放幻灯片,提示学生已学的常见初等函数名称。学生根据提示，回顾常见初等函数解析式及图像。

设计意图：

复习旧知,为本节课做好铺垫.

（二）引例

走读生小明骑自行车上学，最初某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误几分钟，为了按照到校，小明加快了速度，仍然保持匀速行进，结果准时到校。请画出自行车行进路程

s(km)与行进时间 t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（ ）

师生活动：

老师引导学生分析图象特征，学生思考后口答，老师点评。

设计意图：

引出分段函数也是刻画现实问题的重要模型，例如出租车计费，公民纳税，水电费的缴纳等等，为例题1做铺垫。

活动2【讲授】二、分析探究、解决实例

【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图所示：

问题：

（1）根据图象写出速度v关于时间t的函数解析式; （2）求出图中所有矩形面积之和，并说明所求面积的实际含义；

（3）写出汽车行驶路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式，并作出s关于时间t函数的图象。

师生活动：

老师引导学生分析图象特征。

（1）学生思考后，请一名学生演板：

老师点评，注意分段函数的规范表示方法。

（2）学生口答，老师用幻灯片展示答案：

矩形面积之和为50×1＋80×1＋90×1＝220。

表示汽车在这3小时内行驶的路程为220km。

（3）由第（2）问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积。设置动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点。学生思考后演板，老师点评。图像由老师在课件上展示。

设计意图：

本题在课本例题3的基础上做了修改，减少分段的个数，节省时间，利于课堂教学的顺利进行。通过本例的教学，培养学生识图、解图的能力，渗透数形结合的数学思想。

活动3【练习】习题演练，提高能力

【例2】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）的关系如图所示：

（1）写出服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式

（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0。25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为多少小时？

问题：

（1）要写服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式，只需要求出图像中已有的两个解析式中的哪个字母的值？

（2）如何求k和t？

（3）“每毫升血液中含药量不少于0。25毫克时，治疗疾病有效”这句话用数学式子可以怎么描述？

师生活动：

师生共同读题，理解题意。

（1）学生口答：k和t （2）学生口答：将图像中的点（1,4）代入两个解析式中计算即可。请一个学生在黑板上书写过程，其余学生写在学案上，老师点评。

(3)学生回答“

”之后，独立完成练习，之后老师投影学生的答案并讲评。

设计意图：

本题是由一次函数和指数函数构成的分段函数模型，考察待定系数法求解析式，指数不等式等知识。通过本例的教学，进一步培养学生识图、解图的能力，渗透数形结合的数学思想。

【变式】

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后1小时以内，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）成正比例函数关系，且在服药1小时后，血液含药量达到顶峰为4毫克；之后，每毫升血液中的含药量以每小时50%的比例衰减。写出服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式并画出图像。

问题：

（1）“服药后1小时以内，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）成正比例函数关系”这句话如何理解？

（2）“每毫升血液中的含药量以每小时50%的比例衰减”是什么意思？

师生活动：

（1）老师引导学生可以看出设y=kt 之后和例2一样。

（2）老师引导学生以列表格的方式得到给出服药后1小时以后，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）的函数关系：.之后指导学生写出当t>1时，函数解析式为：

y=4×(12 )t−1 .最后学生自己完成分段函数的表示，老师讲评。

设计意图：

本题是由将例1的图像换成文字语言描述，目的在于培养学生的将文字语言转化为数学语言的抽象概括能力，同时例1和变式从解析式、表格、图像等三个角度对指数函数进行描述，加深学生对该知识的理解。不少学生畏惧数学应用题的重要原因在于读不懂题意，应该引导学生在这里加强训练。

活动4【练习】独立练习，强化能力

【练习】某企业拟用10万元投资甲，乙两种产品。已知各投入x万元，甲，乙两种产品可分别获得y1,y2

万元的利润，利润曲线P1:y=axn，利润曲线P2:y=bx+c

，(其中a,b,c

为常数)，如图所示。

问题：

（1）求函数y1,y2的解析式

（2）如何分配投资额，才能使投资获得最大利润？

师生活动：

学生独立思考完成，之后投影学生的答案，老师讲评。

设计意图：

本题第（1）问考察学生对用待定系数法求幂函数解析式，第（2）问考察换元法，将问题转化为一个二次函数问题求解，使学生体会化归转化的思想方法。

活动5【活动】三、归纳小结

通过上述实例的求解过程，引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：

1、将实际问题转化为函数问题

； 2、分析解决函数问题

；

3、将函数问题的解向实际问题还原。

师生活动：

学生思考、总结，并发表自己的意见. 老师点评、指导，并投影出完整的小结。

设计意图：

培养学生反思及归纳的能力。

活动6【作业】四、课后作业

教材P106练习第1题，

P107习题3.2 A组第3，4题。

师生活动：老师出示习题，提出作业要求,学生记录作业内容。

设计意图：巩固提高

3.2.2 函数模型的应用实例

课时设计

课堂实录

3.2.2 函数模型的应用实例

1第一学时 教学目标 学时重点 学时难点 教学活动

活动1【导入】一、复习旧知，引入新课

（一）复习已学的常见初等函数及图象

一次函数： y=kx+b,(k≠0) 二次函数: y=ax2+bx+c,(a≠0)

指数函数:y=ax,(a>0且a≠1) 对数函数:y=logax,(a>0且a≠1) 幂函数:

师生活动：

y=xα,(α为常数) 老师播放幻灯片,提示学生已学的常见初等函数名称。学生根据提示，回顾常见初等函数解析式及图像。

设计意图：

复习旧知,为本节课做好铺垫.

（二）引例

走读生小明骑自行车上学，最初某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误几分钟，为了按照到校，小明加快了速度，仍然保持匀速行进，结果准时到校。请画出自行车行进路程

s(km)与行进时间 t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（ ）

师生活动：

老师引导学生分析图象特征，学生思考后口答，老师点评。

设计意图：

引出分段函数也是刻画现实问题的重要模型，例如出租车计费，公民纳税，水电费的缴纳等等，为例题1做铺垫。

活动2【讲授】二、分析探究、解决实例

【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图所示：

问题：

（1）根据图象写出速度v关于时间t的函数解析式; （2）求出图中所有矩形面积之和，并说明所求面积的实际含义；

（3）写出汽车行驶路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式，并作出s关于时间t函数的图象。

师生活动：

老师引导学生分析图象特征。

（1）学生思考后，请一名学生演板：

老师点评，注意分段函数的规范表示方法。

（2）学生口答，老师用幻灯片展示答案：

矩形面积之和为50×1＋80×1＋90×1＝220。

表示汽车在这3小时内行驶的路程为220km。

（3）由第（2）问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积。设置动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点。学生思考后演板，老师点评。图像由老师在课件上展示。

设计意图：

本题在课本例题3的基础上做了修改，减少分段的个数，节省时间，利于课堂教学的顺利进行。通过本例的教学，培养学生识图、解图的能力，渗透数形结合的数学思想。

活动3【练习】习题演练，提高能力

【例2】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）的关系如图所示：

（1）写出服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式

（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0。25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为多少小时？

问题：

（1）要写服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式，只需要求出图像中已有的两个解析式中的哪个字母的值？

（2）如何求k和t？

（3）“每毫升血液中含药量不少于0。25毫克时，治疗疾病有效”这句话用数学式子可以怎么描述？

师生活动：

师生共同读题，理解题意。

（1）学生口答：k和t （2）学生口答：将图像中的点（1,4）代入两个解析式中计算即可。请一个学生在黑板上书写过程，其余学生写在学案上，老师点评。

(3)学生回答“

”之后，独立完成练习，之后老师投影学生的答案并讲评。

设计意图：

本题是由一次函数和指数函数构成的分段函数模型，考察待定系数法求解析式，指数不等式等知识。通过本例的教学，进一步培养学生识图、解图的能力，渗透数形结合的数学思想。

【变式】

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后1小时以内，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）成正比例函数关系，且在服药1小时后，血液含药量达到顶峰为4毫克；之后，每毫升血液中的含药量以每小时50%的比例衰减。写出服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）之间的函数关系式并画出图像。

问题：

（1）“服药后1小时以内，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）成正比例函数关系”这句话如何理解？

（2）“每毫升血液中的含药量以每小时50%的比例衰减”是什么意思？

师生活动：

（1）老师引导学生可以看出设y=kt 之后和例2一样。

（2）老师引导学生以列表格的方式得到给出服药后1小时以后，每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时）的函数关系：.之后指导学生写出当t>1时，函数解析式为：

y=4×(12 )t−1 .最后学生自己完成分段函数的表示，老师讲评。

设计意图：

本题是由将例1的图像换成文字语言描述，目的在于培养学生的将文字语言转化为数学语言的抽象概括能力，同时例1和变式从解析式、表格、图像等三个角度对指数函数进行描述，加深学生对该知识的理解。不少学生畏惧数学应用题的重要原因在于读不懂题意，应该引导学生在这里加强训练。

活动4【练习】独立练习，强化能力

【练习】某企业拟用10万元投资甲，乙两种产品。已知各投入x万元，甲，乙两种产品可分别获得y1,y2

万元的利润，利润曲线P1:y=axn，利润曲线P2:y=bx+c

，(其中

a,b,c

为常数)，如图所示。

问题：

（1）求函数y1,y2的解析式

（2）如何分配投资额，才能使投资获得最大利润？

师生活动：

学生独立思考完成，之后投影学生的答案，老师讲评。

设计意图：

本题第（1）问考察学生对用待定系数法求幂函数解析式，第（2）问考察换元法，将问题转化为一个二次函数问题求解，使学生体会化归转化的思想方法。

活动5【活动】三、归纳小结

通过上述实例的求解过程，引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：

1、将实际问题转化为函数问题

； 2、分析解决函数问题

；

3、将函数问题的解向实际问题还原。

师生活动：

学生思考、总结，并发表自己的意见. 老师点评、指导，并投影出完整的小结。

设计意图：

培养学生反思及归纳的能力。

活动6【作业】四、课后作业

教材P106练习第1题，

P107习题3.2 A组第3，4题