探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀教案

探究与发现

互为反函数的两个函数图像之间的关系

长沙市二十六中学

何亚松

教学目标：通过探究对数函数和指数函数的图像的关系了解互为反函数的两个函数的图像关系。让学生深入理解研究函数图像的对称性可以从点的对称性入手，了解数学知识数形结合，数形统一，数形互补的特征学会从整体到局部，熟悉从特殊到一般的探究方法和从宏观到微观的探究方法，进一步熟练数学工具软件Geogebre在数学学习中的运用。

重点与难点：了解互为反函数的两个函数的图像之间的关系，从图像的关系到点的坐标的关系，到函数解析式的关系的探究。

教学工具：Geogebra 一、新科引入：

我们知道，减法和加法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，乘方与开放互为逆运算。而函数对应法则也可能是一种比较复杂的运算，那么当两个函数的运算过程互为逆运算是他们的自变量和函数值之间有什么关系呢？图像之间是否存在有某种特殊的联系呢？

二、知识探究

带着上面的问题我们来先来看两个简单的函数

和

显然这两个函数的对应法则是一对逆运算。我们通过Geogebra做出两个函数的图像，并观察两个函数图像之间的关系。（为了方便观察可以做出

的图像）

从整体我们不难看出两个函数的图像具有关于直线

对称的整体特征。

探究实验：

在直线

上任意取一个点P，并显示这个点P的横坐标和纵坐标，

，

，然后我们将

作为纵坐标，

作为横坐标建立点

，然后任意移动点

，你会有什么发现？

我们发现，当点 在直线

上任意移动时，

总会在直线

上，从左边的数

据区，我们也可以看到

、 两点的坐标的关系。

结论：函数

上的任意一点 的横坐标和纵坐标交换以后构成的点 必定在直线

上。

如果从函数的自变量

和函数值

的角度来分析则有：

函数

的自变量就是函数

的函数值；函数

的函数值就是函数

的自变量。

函数

的定义域就是函数

的值域；函数

的值域就是函数

的定义域。

解析式探究

独立分析函数

与函数

的解析式之间的联系

结论：有变量之间的关系我们不难发现，只需要把函数

中的

交换位置，并变形就可以得到函数

的解析式

交换 化成

的形式

三、自主研究任务：自己写出一对对应法则互为逆运算的函数，并通过Geogebra研究两个函数的（1）整体图像的特征；（2）动点坐标之间的关系（围观）；（3）解析式的相互转化。

如：

与

；

与

，

为参数；

与

等，

由学生运用已经学习的数学知识构造出具有互为逆运算的一对函数进行实验，验证前面的实验结果，加深理解。

四、研究函数

与函数

的关系

图像整体探究：用Geogebra做出函数

与函数

输入：

和

可以得到函数

与函数

两个函数的图像，

不难发现，两个函数的图像具有关于直线

对称的几何特征。

尝试拖动滑动条，改变

的值，我们发现两个函数的图像依然保持关于直线

对称的几何特征。

解析式推导：

反函数的定义：

我们把函数

与函数

等具有函数图像关于直线

对称特征的两个函数关系成为互为反函数，把函数

叫做函数

的反函数，函数

叫做函数

的反函数。

函数

的反函数记为

互为反函数的两个函数的关系：

函数

的定义域是函数

的值域，函数

的值域是函数

的定义域；

函数

上的点 交换其横坐标和纵坐标后构成的点 一定在函数

的图像上。

解析式的变换，交换

并化简即可（要注意两个函数的定义域和值域的关系）

课堂练习：

求下列函数的反函数，并在Geogebra上做出两个函数的图像：