信息技术应用 借助信息技术方程的近似解第二课时教案

3.1.2用二分法求方程的近似解

一．教学目标

1、知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

2、能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法。

3、情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新 能力，让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。

二．教学过程（设计）

(一)

知识回顾

1、方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点；

2、如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

(二）导入新课

（三）讲授新课

1、介绍二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断且

f

a



f

b



0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

（1）选取满足条件f



0

的实数（一般取整数）a,b , 确定区间[a,b];

a



f

b（2）求区间(a,b)的中点

a



b

，记为c ; 2

（3）计算f(c),并进行判断：

<1>若f(c) ＝0，则c 就是函数的零点，结束；



<3>若

f

c





f

b



，则



(

c

,

b，令；

0

x)a=c,转向（4）0

<2>若

f

a



f

c

，则

0



(a

,

c，令；

)b=c,转向（4）0

x（4）、判断是否达到精确度

：

若新区间的区间长度（两端点之差的绝对值）小于

，则达到了精确度，取区间端点之一为零点的近似值即告结束；否则，重复2－4的工作。



（四）总结新课

1、二分法是一种求方程近似解的常用方法。

2、二分法求方程的近似解的步骤：定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断。

3、二分法渗透了极限和算法的思想。

（五）习题

[例1]

下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(

)

[变式训练1]

如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(

)

[例2]

用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(

) A．(0,0.5)，f(0.25)

B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75)

D．(0,0.5)，f(0.125) [变式训练2]

某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分(

) A．2次

B．3

C．4次

D．5次

[例3]

判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．

[变式训练3]

借助计算器，用二分法求出ln(2x＋6)＋2＝3x在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．

作业

1．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________. 2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

f(1.600 0)＝0.200

f(1.562 5)＝0.003

f(1.587 5)＝0.133

f(1.556 2)＝－0.029

f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得方程

3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取________．

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f(1)＝－2

f(1.375) ＝－0.260

f(1.5)＝0.625

f(1.437 5) ＝0.162

f(1.25)＝－0.984 f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(

) A．1.2

C．1.4

B．1.3 D．1.5 4．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1) 证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，

因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又因为f(x)是增函数，

所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，

设该解为x0，

则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，

所以x0∈(1,1.5)，

取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，

f(1)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1,1.25)．

取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，

f(1.125)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1.125,1.25)，

取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，

f(1.187 5)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1.187 5,1.25)，

因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，

1x5．求方程lgx＝2－1的近似解．(精确度：0.1)．

11解：如图所示，由函数y＝lgx和y＝2x－1的图象可知，方程lgx＝2x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．

11x设f(x)＝lgx－2＋1，f(1)＝2>0，用计算器计算，列表如下：

区间

(0,1)

(0.5,1)

(0.5,0.75)

(0.5,0.625)

(0.5,0.562 5)

中点的值

0.5

0.75

0.625

0.562 5

0.531 25

中点函数近似值

－0.008 1

0.280 5

0.147 5

0.073 0

0.033 3

区间长度

1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 由于区间(0.5,0.562 5)的长度为0.062 5<0.1，因此在区间(0.5,0.562 5)内任意一个x值都符合要求，所以原方程的近似解可取为0.562 4. 以1.187 5可作为这个方程的实数解．