习题3.1PPT专用课堂实录内容

“3.1.1方程的根与函数的零点”教学设计

“3.1.1方程的根与函数的零点”教学设计

泸县一中 梅治洪

一、教学内容解析

1.意义

“方程的根与函数的零点”是《普通高中课程标准实验教科书·数学1 (必修)》（人民教育出版社A版）第三章函数的应用第3.1节函数与方程的第一课，函数的应用有两个层面：第一个层面是运用函数的知识和方法解决数学学科内部的问题，比如方程、不等式、数列等问题，即构造函数解决相关问题，这需要构建函数知识与学科内部其它知识的关联；第二个层面是运用函数的知识和方法解决其它学科或生活中的问题，即建立函数模型解决相应问题，通过建立“方程f(x)0的根”与“函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标”之间的关联，或“方程f(x)g(x)的根”与“函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标”之间的关联，可以把求方程根的问题转化为求两函数图象交点横坐标的问题. 2.内涵

教科书通过一个思考题(见教科书第86页)的解决揭示了“方程f(x)0的实数根就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标”这一事实，为了简炼地表达这一事实，引进了函数的零点概念.在此基础上揭示了“方程f(x)0有实数根”“函数yf(x)的图象与x轴有交点”“函数yf(x)存在零点”的等价关系，由此导出了求方程的实数根的方法：利用函数的性质找出零点.然后，通过一个探究问题(见教科书第87页)的解决，归纳一般的结论，即函数零点存在性定理. 思考题和探究问题的解决体现了从特殊到一般、从具体到抽象、从几何直观到代数表达的过程，其中蕴含了数形结合、函数与方程、化归与转化的思想及探究数学结论的方法

3.重点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.

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“3.1.1方程的根与函数的零点”教学设计

二、教学目标设置

1.经历课堂探究问题的解决过程，体会函数图象与x轴的交点和相应方程根的关系

2.理解函数零点的概念，能针对具体方程，说明方程的根、函数图象与x轴的交点以及函数零点的关系；

3.理解函数零点存在性定理，能借助具体函数的图象，说明“函数零点存在性定理”的条件是充分而不必要条件（但不指明是充分而不必要条件），能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及零点存在的区间；

4.能积极参与教学活动，经历从特殊到一般，再从一般到特殊的问题解决过程，体会函数与方程之间的联系及其中蕴含的数学思想方法，享受数学问题研究的乐趣.

三、学生学情分析

1.学生已经具备的认知基础

(1) 学生了解一次函数与二元一次方程的关系；

(2) 学生理解一元二次方程及其根的求法、一元二次函数及其图象与性质；

(3) 在一次函数、二次函数的学习中，学生通过解答“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识了方程与函数的联系；

(4) 学生掌握了函数的概念与性质、指数函数、对数函数和幂函数图象与性质；

(5) 学生对“数形结合”思想、特殊到一般的归纳思想有一定的认识. 2.达成目标所需的认知基础

用函数的观点、联系的眼光来看待方程的问题，认识三种数学语言之间的关联. 通过对学生两种认知基础的分析可知学生的最近发展区为：通过观察各种函数图象，类比、归纳出在某区间上函数零点存在的条件.为此，在教学设计时用了一个统领整堂课的核心任务来调动学生的活动.由于考虑到相比函数零点而言，方程的根更为学生熟悉，更容易激活学生已有的认知基础，所以将探究的对象定为“方程的根”.但是学生的探究和科学家的发现是有本质的区别，前者受限于课时进度安排、认知能力等因素.因此，搭建适当的脚手架就显得非常重要.为此，在探究任务过程中设置了四个层层深入的问题串，有效地化解了学生探究过程的难- 2 -

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点. 3.教学难点

探究函数零点存在的条件是本课的难点. 在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过x轴（次数不限），即曲线与x轴一定有公共点（个数不限），可以用f(a)f(b)<0来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度. 为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例和信息技术促成对定理本质的理解，突破学习难点. 四、教学策略分析

1.教学方法的选定

人的发展的过程是一个不断体验的过程，学生只有通过自己的体验，达到对知识的理解和获取，形成情感和感悟，才能实现思维和能力的发展.个体的体验是个体获得知识的主要来源，个体只有在不断丰富自身的体验的基础上，对自身的体验进行时常的回忆、表达与反思，才能为新学习的知识提供栖身之地.个体的体验是以个体有意识地参与特定的活动为基础.自主探索、合作交流是高中数学新课程倡导的学习数学的重要活动方式.为此，本节课采用问题探究式教学法：（1）提出问题——根据教学内容设置课堂探究问题；（2）解决问题——通过学生自主探索、小组合作讨论、全班展示交流(教师适时点评)等活动解决探究问题；（3）反思提升——通过回顾、反思探究问题的解决过程，导出新知识、体会思想方法；（4）运用反馈——通过反馈练习，巩固新知识，优化认知结构. 2.达成目标的策略

“一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数yax2bxc0(a0)的图象与x轴交点的横坐标”是本班学生熟知的结论，函数零点存在性定理是本- 3 -

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课的重点，其实质是揭示方程在某开区间内有根的条件.为此，本节课把教学内容中的思考问题和探究问题整合为一个探究问题“探究方程f(x)0在区间(a,b)内有解的条件”，以突出教学重点，也使问题更具探究价值.同时，让学生在经历这一问题的探究过程中，获得“方程f(x)0的根”与“函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标”之间的关联体验，体会函数图象与x轴的交点和相应方程根的关系及函数与方程之间的联系.在此基础上，引导学生回顾、反思探究问题的解决过程，给出函数零点的概念，导出函数零点存在性定理.让学生在回忆、表达与反思自己体验的过程中，深刻理解零点存在性定理，提高认知监控能力. 3.突破难点的策略

探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节课先探究方程f(x)0在区间(a,b)内有解的条件，让学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.在给出函数零点的概念后，让学生结合课堂探究的结论自己导出函数零点存在性定理，体验数学发现和创造的历程，发展独立获取数学知识的能力，感受成功的喜悦. 为使学生理解函数零点存在性定理的条件中的“函数yf(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0”，本节课借助现代信息技术为学生演示“函数yf(x)在区间上的图象不连续，尽管f(a)f(b)0，但函数yf(x)在(a,b)内不存在零点”及“函数yf(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，虽然f(a)f(b)0，但函数yf(x)在(a,b)内却可能存在零点或不存在零点”的图象范例.通过图象，直观感知函数零点存在性定理的合理性. 4.反馈调节的策略

为达到理想的教学效果，本节课在学生自主探究过程中，教师通过巡视，收集反馈信息；通过适时指导，调节学生的探究进程.在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决. - 4 -

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为反馈教学效果，本节课设计了课堂应用练习及课后反馈检测题.通过课堂应用练习，及时调节学生的认知结构；通过课后反馈检测题，为后续教学指明设计提供依据. 5.教学媒体选用

PPT、几何画板、实物投影、图形计算器

五、教学过程

教学环节

教师活动

出示引例：

下列方程有解吗？

学生活动

设计意图

通过问题创设情境，让学生产生强烈的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲，将实际问题转化为学生自己想（1）

X2-2x-3=0

一、

创

设

情

境

提

出

问

题

(2) x2-2x+1=0 (3)

x-2x+3=0

师生共同分析：对于方程（1）(2) (3)结合一元二次方程与二次函数图像的关系得出，从而理解方程是否有解，对应的函数图象与x轴是否有交点. 教师从思维、方法两个方面解读核心任务.

2学生积极思考，主动解决问解决的问题. 题.估计学生能够较为容易教师引导学生将方程地得判定方程方程（1）（2）f(x)=0有解问题转化函数（3）有解，但很难判定方程（4）是否有解.几乎不会

思考解决核心任务的思维策略、方法策略

yf(x)的图像与x轴有交点的问题，从而引出函数零点定义。整个过正中让学生领会方程和函数紧密相连，体现出化归与转化思想，数形结合的思想.通过方程（1）（2）（3）引出零点的概念

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得出结论：

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x从数和形角度理解零点，从轴有交点

而引出课题

函数y=f(x)有零点

二、

类

比

归

纳

3

思考：3x-5x+1=0 有解吗？

探究3函数f(x)=3x-5x+1的图像特点

提出问题：函数f(x)=3x-5x+1在其零点附近图像如何变化的？

3

学生尝试利用图形计算

器做出图像

通过开放性很强的核心问

题来引领学生开展自主探究

学生先独立完成，再通

活动.类比单调性用数学语

过小组讨论，最后全班交流.

得出结论：

言刻画图像穿过x轴从而得

归纳得出：

出结论

函数零点存在性定理需满足

的条件：如果函数y=f(x)在区

间[a，b]上有f(a)f(b)﹤0，那

么函

数y=f(x)在(a,b)内有零

点

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针对问题1：在坐标系中一些学生根据自己的认知基础作出了一次函数、二次函数、反比例函数、指、对、

三、

师

生

合

力

问题1：

若f(a)f(b)﹤0，则

y=f(x)在区间(a,b)上

一定有零点吗？

反

思

提

升

幂函数等具体函数的图象， 反思核心任务的解决也有学生画出了不知道解析过程，归纳提升知识、方法.式的抽象函数的图象，只要学生亲身经历核心任务的解举出反例.说明，得出必须满决过程，体验所蕴含的思想足“连续不断”

完善定理：

函数零点存在定理：如果函

数y=f(x)在区间[a，b]上的图

象是连续不断的一条曲线，

并且有f(a)f(b)﹤0，那么函

数y=f(x)在(a,b)内有零点，即

存在c∈

(a,b),使得f(c)=0，

这个c也就是方程f(x)=0的根

方法，生成一个概念、一种关系和一个定理，符合学生的认知规律.

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问题2：

针对问题2：

学生讨论能够举例说明

特别强调“请举例说明”

反例为辨析概念提供了最好的载体，在连续函数零点存在性定理的教学中，使用反例是加深理解定理的策略之一

如果函数y=f(x)的图像在区间[a，b]上连续不断，

即可

f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？

问题3：

如果函数y=f(x)

针对问题3：

学生讨论能够举例说明

的图像在区间[a，b]即可

上连续不断，且f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？

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问题再现：方程

问题再现突出运用知识解决问题的能力

3x-5x+1=0 有解吗？

3 预设：法一

解：f(1)<0,f(3)>0 （1,3）

∴函数

y=f(x)在区间内有根. 又∵y=f(x)单增

四、

应

用

反

馈

提

升

能

力

应用

解决应用问题

函数f(x)=2x+2x－6是否有零点？.（教科书P88 例题改编）

追问：函数∴函数只有1个零点

归纳得出：零点唯一性的条 取自教材原题改编，旨件

预设：法二

在引导学生充分用好教材，也为“二分法求方程近似解”中所取函数做好铺垫.一方利用图形计算器直接作面深层次挖掘这道题所蕴含出图像

预设：法三

的知识，引导学生归纳出：“零点唯一性”的条件.另一方面，从两图象交点看方程根的个数，推广零点存在性在同一坐标系中作出两定理.促进学生深刻体验方个函数y=2x和y=6-2x图象，程与函数的关联.利用图形观察图象交点个数也可以得计算器作图体现新课程的理到只有一个零点.

- 9 - 念——信息技术与学科知识的整合.

f(x)=2x+2x－6有几个零点？

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反馈

作业：

教科书P88.练习

课后探究：

已知aR，讨论关于x的方程x26x8a的实

学生课后独立完成.

1.让学生进一步体会方程的根与函数零点的关系，并加强对信息技术的使用能力. 2.本题属于能力的考查，设计该题的目的是检测学生是否具备用函数的观点解决问题的意识.为此，对学生的反馈情况作了目标达成点检测分析. 数解的个数.

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六、板书设计

§3.1.1

方程的根与函数的零点

三、应用反馈

应用

方法一：

………………………………………………………………………………

………………………………………

（零点唯一性定理）

方法二：

………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

一、引出定义

函数的零点

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)图象与x轴有交点函数y=f(x)有零

点

二、探究定理

零点存在性定理

（主板书）

（1）f(a)fb0

（2）连续不断

主板书说明：这样设计主要想让学生清楚整堂课的各个教学环节、明确本堂课的核心内容、重点与难点，并通过应用部分的板书规范学生书写.

问题：

对探究过程学生回答重点记录

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

f（0）＝1，f（1）＝－1并作出大致图像

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

（副板书）

副板书说明：反映零散知识及学生反馈出现的板书. - 11 -

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七、教学流程图

开始

创设情境，提出问题

解释任务

提出核心任务

理解任务

展示“问题串”

指导点拨

类比归纳，解决问题

小组活动

交流讨论

师生合力，反思提升

梳理归纳

记录整理

应用反馈，提升能力

独立思考

检测评价

应用展示

结束

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