习题3.1教学设计(第一课时)

函数与方程

【考点导读】

1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．

2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．

3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．

【基础练习】

1.函数f(x)x24x4在区间[4,1]有_____1 ___个零点．

2.已知函数f(x)的图像是连续的，且x与f(x)有如下的对应值表：

x

f(x)

1 －2.3 2 3.4 3 0 4 －1.3

5 －3.4 6 3.4 则f(x)在区间[1,6]上的零点至少有___3__个．

【范例解析】

例1.f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)af(x)b，

则下列关于函数g(x)的结论：

①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称；

②若a=－1，－2

③若a≠0，b2，则方程g(x)=0有两个实根；

④若a0，b2，则方程g(x)=0有三个实根．

其中，正确的结论有___________．

分析：利用图像将函数与方程进行互化．

b解：当a0且b0时，g(x)af(x)是非奇非偶函数，①不正确；当a2，b0时，g(x)2f(x)是奇函数，关于原点对称，③不正确；当a0，b2时，f(x)2222时，f(x)才有三个实数根，故④不正确；故选②．

aa2，由图知，当a点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，第1页

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察其形，舍其次，抓其本．

例2.设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0．

求证：（1）a0且2b1；

a（2）方程f(x)0在(0,1)内有两个实根．

分析：利用abc0，f(0)0，f(1)0进行消元代换．

证明：（1）f(0)c0，f(1)3a2bc0，由abc0，得bac，代入f(1)得：

cbc1，即1(2,1)，即证．

aaaac0，即ac0，且0（2）1111f()a0，又f(0)0，f(1)0．则两根分别在区间(0,)，(,1)内，得证．

242211点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点来考察f()的正负221b是首选目标，如不能实现f()0，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布23a来做．

【反馈演练】

1．设f(x)3ax2a1，a为常数．若存在x0(0,1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是

1(,1)(,)．

2x2bxc,x0,2．设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x解的个2,x0.数为

A．1

B．2

（

C

）

C．3 D．4 23．已知f(x)axbxc(a0)，且方程f(x)x无实数根，下列命题：

①方程f[f(x)]x也一定没有实数根；②若a0，则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立；

③若a0，则必存在实数x0，使f[f(x0)]x0

④若abc0，则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立．

其中正确命题的序号是

①②④

．

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4．设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21．求实数a的取值范围．

解：令g(x)f(x)xx2(a1)xa，

0，1aa0，1，0则由题意可得0a322．

1a1，2g(1)0，a322，或a322，g(0)0，故所求实数a的取值范围是(0，322)．

5．已知函数f(x)log2(4x1)kx(kR)是偶函数,求k的值；

f(x)是偶函数，f(x)f(x)

log2(4x1)kxlog2(4x1)kx2x2kx0

由于此式对于一切xR恒成立，k1 解：

6．已知二次函数f(x)ax2bxc．若a>b>c，

且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点. 证明：

f(1)abc0且abc,a0且c0,b24ac0,

f(x)的图象与x轴有两个交点.

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