习题1.2优秀导入

一元二次函数

【知识衔接】

————初中知识回顾————

1、形如yaxbxc(a0)的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。

2、二次函数的解析式的三种形式：

1 一般式 yaxbxc(a0)

0222 顶点式 ya(xm)n(a0)，其中顶点为（m，n）

023 零点式 ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是axbxc0的两根。

02————高中知识链接————

二次函数的性质

yaxhk

2yax2bxc

yaxx1xx2

a0开口向上函数有最小值顶点为最低点

开口方向

a0开口向下函数有最大值顶点为最高点

对称轴

顶点坐标

直线xh

x直线b2a

直线xx1x22

(h，k)

b4acb2(，)

2a4ax1x2-a(x1x2)2(2，) 4当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，增减性

y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；

当x当最值

xh时，

x当b2a时，

4acb

4a2x1x22时，

-a(x1x2)24y最值k

y最值y最值=（或用代入法）

(1)a决定抛物线的开口方向

①a0开口向上；

②a0开口向下．

(2)c决定抛物线与y轴交点的位置

①c0图象与y轴交点在x轴上方；

②c0图象过原点；

③c0图象与y轴交点在x轴下方．

(3)a、b决定抛物线对称轴的位置(对称轴：x①a、b同号对称轴在y轴左侧；

②b0对称轴是y轴；

③a、b异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0．

b) 2ab4acb2(，)(4)顶点坐标．

2a4a(5)b4ac决定抛物线与x轴的交点情况．

①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；

②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；

③△<0抛物线与x轴无公共点．

【经典题型1】

1．已知二次函数yaxbxc（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（

）

A．c＜3

B．m≤

2．已知抛物线y221

C．n≤2

D．b＜1 2123xx6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中62点，则CD的长为（ ）

（A）

3．如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）

2221591315 （B） （C） （D）

2422

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．二次函数yaxbxc（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，217、点B（，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程ay1）22（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（

）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

【经典题型2】

1．如图是二次函数yaxbxc图像的一部分，其对称轴是x1，且过点（－3，0），下列说法：①abc0②2ab0③4a2bc0④若(5,y1),(,y2)是抛物线上两点，则y1y2，其中说法正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

252

2．如果函数y(a1)x23x范围是 ．

3．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数ya5的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值a112xmx对应的函数值分别为y1，y2，y3，2若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是 ．

4．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ．

A 组

1．一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，-1）与y轴的交点（0，-4）这个二次函数的解析式是（ ）

121x2x4

B．yx22x4

33122C．y(x3)1

D．yx6x12

3A．y2．如图是二次函数y=﹣x+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（

）

2

A．﹣1≤x≤3

B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3

23．已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，记mabc2abc，

nabc2abc．则下列选项正确的是（ ）

A．mn B．mn C．mn D．m、n的大小关系不能确定

4．已知一次函数y1kxm（k≠0）和二次函数y2axbxc（a≠0）的自变量和对应函数值如表：

2

x y1

…

…

﹣1 0 0 1 2 3 4 5 …

…

x y2

…

…

﹣1 0 1 ﹣4 3 0 4 5 …

…

当y2y1时，自变量x的取值范围是（

）

A．x＜﹣1

B．x＞4

C．﹣1＜x＜4

D．x＜﹣1或x＞4 5．如图是二次函数yaxbxc图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线2x=﹣1，给出四个结论：

①c＞0； ②若点B（35，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1y2；

224acb2③2a﹣b=0； ④＜0，其中，正确结论的个数是（

）

4a

A．1

B．2

C．3

D．4 6．如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

2

B 组

21．如图在同一个坐标系中函数ykx和ykx2（k0）的图象可能的是（ ）

A．

B．

C．

D．

222．二次函数yaxbxc（a0）的图象如图，给出下列四个结论：①4acb0；②4ac2b；

③3b2c0；④m(amb)ba（m1），其中正确结论的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如图，已知抛物线yxbxc与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．