习题1.2教案2

课题：函数的值域

在教材中的地位和作用：

在高中数学体系中，函数是高考考查的一个重要方面。在定义域，值域，对应法则这三要素中，求值域的问题是方法最多，也是最难掌握的。在现行高中教材中虽然没有专门安排有关内容，但在高中数学的练习、习题中，乃至高考题中，却处处可遇到此类问题,可能是专门的一道题，也可能是大题中决定性的一步.所以，我们需要对求值域的方法进行归纳和总结，解题时才能合理选取，一举攻克. 教学目标：1.知识与技能：通过自主学习，合作探索，学生能够掌握基本类型的函数求值域的方法，遇到问题能够做出正确选择. 2.过程与方法：数形结合，转化思想；

3.情感态度与价值观：培养同学们善于总结和归类的的好习惯. 重点和难点：求函数值域的方法多种多样，归纳起来，常用的方法有：①单调性法；②换元法（含代数代换、三角代换等）；③分离常数法；④反解法；⑤数形结合法；⑥反解法等．

教学方法：自主探究法

课堂教学类型：习题课

教学过程：

例1.

求函数的yx42x2+5,x2,2值域. 思索1：对于高次函数来说，最值的求法是从极值和端点值中寻找最大的和最小的.端点值直接代入即可得到，而求极值需要先求导. 破解1：先求导数，得y'4x4x

令y'0即4x4x0解得x11,x20,x31

x

-2 （－2，－1）

－

减

－1 0 4 （－1，0）

＋

增

0 0 5 （0，1）

－

减

1 0 4 （1，2）

＋

增

2

13 33y'

13 y 从上表知，当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4. 思索2：认真观察所给函数，发现x4与x2的指数存在2倍关系.所以，令tx0t4，所给函数就2可以转化为二次函数，采用配方法就可求出最值. 2 破解2：令tx，2x20t4

yt22t5t14

2 当t1时，即x1时，ymin4，

当t4时，即x2时，ymax13. 当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4. 例2. 求函数的yx12x值域.

解：法一：自变量的次数正好为2倍关系，可通过换元去掉根号，转化为二次函数问题；

1t2令t12x,t0, x

21t2112ytt1+1y,2

222法二：直接研究函数的单调性. 11yx12x的定义域为,且在定义域上单调递增，y,

22例3. 求函数的yx45x2

值域.

思索：看到本题所给函数中含有根号，我们的第一反应是通过换元去掉根号.但是如果像例2一样采取普通的代数换元，令t5x2，在解x时就会遇到困难，出现正负两个值，前面的x就不容易用t表示出来了.如果我们进一步认真观察就会发现5x2与x的平方和是一个定值5，可联想到在三角函数中，sinx,cosx的平方和是一个定值1，所以可以采用一种特殊的换元方式——三角换元，问题即可得到解决. 破解：由5x20，可得5x5

令5x2sin，则xcos，0，

y5cos45sin10sin 0 当4

4445

44时，ymax410，当时，ymin45

故所求函数的值域为45,410. 例4.求函数的yx3值域.

x1思索：此函数解析式特点为分式，且上下皆为一次.可采用分离常数的方法解决.

破解：yx3x1441

x1x1x1

y,11,

ex1例5. 求函数yx的值域．

e1思索1：形如yaxba0且c0的函数可以考虑分离常数法，在本题中我们可以令cxdtext0，将其转化为上述形式，再进行求解. 破解1：令tet0，yxt1t1221

t1t1t12t0t1102

t12220 111

t1t1即1y1

ex1的值域为1,1．

函数yxe1思索2：e本身是有范围的，所以可以先反解出e，然后根据e的范围来限制y的范围，即为所给函数的值域. 破解2：exxxx1y1yx0

e01y1yex1的值域为1,1．

1y1 函数yxe1例6. 求函数ycosx的值域. sinx3思索1：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式ky2y1，x2x1将原函数视为定点3,0到动点(sinx,cosx)的斜率，又知动点(sinx,cosx)是单位圆上的点，从而问题就转化为求点3,0到单位圆连线的斜率问题．

破解1：由图象可知，点3,0到单位圆连线的斜率最值分别为kAB和kAC,而AB,AC两

条切线关于x轴对称，所以它们的斜率互为相反数．kABtanOABy OBOB12

2222AB4OAOB31O B (1,0) C A(3,0) x

kACkAB2

422,函数的值域为.

44思索2：我们可通过变形将原函数化为三角函数，利用三角函数的有界性解决．

破解2：由原函数式可得：ysinxcosx3y

4

可化为：y21sinx3y

即

sinx3yy12

xR,sinx1,1

13yy2114444解得：22

y4422,函数的值域为.

44例7. 求函数yx21的值域. x思索：可使用对勾函数的单调性（可能涉及范围问题，最好不用基本不等式）. 破解：yx2是对勾函数，在,2和x2,上单调递增，在2,0和0，2上单调递减

 函数的值域为,2222,.

x22x5例8. 求函数y的值域. x1思索1：分母一次分子二次形式的函数可通过换元转化为对勾函数的形式，然后利用对勾函数的单调性求出值域； 破解1：tx1,t0xt1

t1y22t15t244t

ttt函数的值域为,4思索2：法二：判别式法. 4,.

破解2：x22x5yx2y2xy50

x1定义域为,1 又1,

x2y2xy50有不等于1的实根. 0 解得y4或y4

函数的值域为,44,.

函数求值域方法总结

：

1.单调性法：确定函数单调性的方式有配方，求导，或者使用已知的基本初等函数的单调性（常用的有二次函数，反比例函数或者是对勾函数）；

2.换元法：常在复合函数求值域的过程中与其他方法结合使用，换元法在使用过程中无论是代数换元还是三角换元都要特别注意新变量的取值范围；

3.分离常数法：适用于分子分母次数相同的分式形式函数，也常与其他方法结合使用；

4.反解法：利用函数的有界性建立关于y的不等式，从而解出其范围；

5.数形结合法：适用于解析式有明确几何意义的形式，如斜率模型和距离模型.

6.判别式法：适用于分子分母都是二次以内的多项式的分式形式函数.