信息技术应用 借助信息技术方程的近似解优秀教案案例

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

惠州市实验中学――叶剑平

教学目标：

知识与技能

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及二分法在实际问题中的应用．

过程与方法

通过探索思考，

借助计算或信息技术用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想（循环、逼近），为学习算法做准备．

情感、态度、价值观

体会函数零点逐渐逼近的过程，感受精确与近似的相对统一．通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从特殊到一般的认知过程．

教学重点：

重点 理解二分法的涵义，学会用二分法求方程的近似解，再次体会函数的零点与方程根之间的联系．学习用信息技术求方程的近似解的一些常用方法。

难点：正确理解二分法的涵义，取近似值时哪一个端点值更合适．

教学程序与环节设计：

创设情境

由所学知识出发，制造悬念，激发认知冲突，引出主题

组织探究

初步认识二分法的意义、算法思想及方法步骤．

尝试实践

通过实际操作，进一步体会二分法的意义，明确二分法的适用范操作强化

深刻体会二分法的算法思想及方法步骤，并学会应用二分法解决简单问题．

二分法应用于实际．

应用延伸

拓展研究

1．

二分法为什么可以逼近零点的再分析；

2．

追寻阿贝尔和伽罗瓦．

教学过程与操作设计：

（一）

课题引入

请同学们求出以下方程f(x)0的根（或求函数yf(x)的零点）：

(1)2x10，f(x)2x1

(3)4x23x20，f(x)4x23x2

(5)x3x22x20，f(x)x3x22x2

(4)lnx2x60，f(x)lnx2x6

以上问题，前三个好完成，但后1个就不好做了。我们经常需要寻求函数yf(x)的零点（即f(x)0的根），对于f(x)为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十五世纪，意大利数学家塔尔塔利亚已找到了三次方程的求根公式；卡尔达诺记载了费拉里四次方程的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

（二）师生探究,构建新知

求函数f(x)lnx2x6的零点。

1．请同学们先猜想它的零点大概是什么？你是如何猜的？依据是什么？

复习：函数零点存在性定理

利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程f(x)0在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．

2、刚才只是判断零点在某个大的范围内，给定精确度下我们如何找出这个零点？

生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.

师：如何有效缩小根所在的区间？即我们已经知道，函数f(x)lnx2x6在区间（2，3）内有零点，且f(2)＜0，f(3)＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点近似值？

合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）

生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．

生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？

生3：。。。。。

那种方法更好？理由是什么？

师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 3、得出具体用求区间(a,b)的中点值的方法的零点的步骤是什么？

xab2找函数f(x)lnx2x6引导学生分析理解求区间(a,b)的中点的方法xab2．

步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.0840. 由f(3)＞0，得知f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5，3)内。

步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)0.5120.因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内. 结论:由于(2，3) (2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．

合作尝试：（学生4人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）

引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．

区

2 2.5 2.5 2.5 2.5 2.53125 2.53125 2.53125 2.53125 2.533203125 2.534179688 2.534667969 间

3 3 2.75 2.625 2.5625 2.5625 2.546875 2.5390625 2.53515625 2.53515625 2.53515625 2.53515625 中点

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625 2.533203125 2.534179688 2.534667969 2.534912109 中点函数值

-0.083709268 0.511600912 0.215080896 0.065983344 -0.008786748 0.028617117 0.009919918 0.000567772 -0.004109191 -0.001770635 -0.000601413 -1.68157E-05 精确度

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813 0.003906 0.001953 0.000977 0.000488 4、实践反思，刚才操作的方法就是二分法（也叫对分法）。

对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

注意引导学生根据实践分化二分法的定义：

二分法的适用范围，即函数yf(x)在区间[a，b]上连续不断，

二是用二分法求函数的零点近似值的步骤：

给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下，

1、确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度；

2、求区间(a，b)的中点c；

3、计算f(c)：

（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；

x(a,c)）（2）若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点0；

x(c,b)）（3）若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点0；

判断是否达到精确度：

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2—4．

[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让

学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．

你对二分法还有什么体会？（还有最后近似值该取谁？怎么取？）

（三）例题剖析，巩固新知

例：借助计算器或计算机用二分法求方程23x7的近似解（精确度0.1）. 解：（略）

两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评. 以上求函数零点的二分法，对函数图像时连续不间断的一类函数的零点都有效，如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步的进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法，算法是刻版的机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班的去做，总会算出结果，算法更大的优点是可以让计算机来实现。

本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法. （四）尝试练习，检验成果

1、下列函数中能用二分法求零点的是（

）. y x。

(A)

[设计意图]让学生明确二分法的适用范围. (B) (C) o (D) x 2、用二分法求图象是连续不断的函数yf(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,则函数的零点落在区间（

）. (A)（1,1.25）

(B)（1.25,1.5）

(C)（1.5,2）

(D) 不能确定

[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法. 3、检查电线杆问题也可以。

（五）运用信息技术方程的近似解

1、方案一：运用二分法设计算法，运用电子表格（EXCEL)的计算数值。

2、方案二：运用二分法设计算法，运用计算器计算数值。

区

2 2.5 2.5 2.5 2.5 2.53125 2.53125 2.53125 2.53125 2.533203125 2.534179688 2.534667969 间

3 3 2.75 2.625 2.5625 2.5625 2.546875 2.5390625 2.53515625 2.53515625 2.53515625 2.53515625 中点

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625 2.533203125 2.534179688 2.534667969 2.534912109 中点函数值

-0.083709268 0.511600912 0.215080896 0.065983344 -0.008786748 0.028617117 0.009919918 0.000567772 -0.004109191 -0.001770635 -0.000601413 -1.68157E-05 精确度

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813 0.003906 0.001953 0.000977 0.000488

3、方案三：运用几何画板的函数作图功能求零点或函数图像交点的横坐标。

4、方案四：直接用图形计算器命令求解方程。

（六）课堂小结，回顾反思

学生归纳，互相补充，老师总结：

1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在

零点所在的区间内是连续不断；

2、用二分法求方程的近似解的步骤. [设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化. 3、运用信息技术求方程近似解的方案

运用各种信息技术工具都可以很方便地求方程的近似解，但算法设计是最重要的！

（七）课外作业

1．[书面作业]第92页习题3.1A组3、4、5；

2．[知识链接] 查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”．

3．[课外思考]:大家都看过李咏主持的<幸运52>吧,竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？如何才能更快的猜中商品的预定价格？