习题2.2教学设计一等奖

指数运算与指数函数

【知识概述】

一、根式的性质：

1.(na)na

2.当n为奇数时，nana

3.当n为偶数时，na|a|二、幂的有关概念：

正整数指数幂：anaan个a(a0)

a(a0)

a(nN)

零指数幂：a01(a0)，

负指数幂：ap1(pQ，apmn[来源:Z_xx_k.Com]

正分数指数幂：anam(a0,m、nN*

且n1)

三、有理指数幂的运算性质

1.aaarsrsrs，

(a0,r、sQ）2.(a)a(a0,r、s

Q），

3.(ab)ab(a0,b0,r

Q）

四、指数函数

1．指数函数定义：函数ya(a0,且a1)称指数函数，函数的定义域为R，值域为xrrrrs(0,)

2．函数图像：

3．性质：（1）图象都经过点（0，1）

（2）a1时，yax为增函数；1a0时，yax为减函数

（3）yax为非奇非偶函数

【学前诊断】

[来源学科网]

121.

[难度]易

计算：（１）0.027321317279221；

0（2）aa33a15212a；

13（3）526322．

2.

[难度]中

exex函数yx的图象大致为(

)．

xeey

1O

1

x

1O1xyy1

O1

x

Oy1

1

xD

C

A

3.

[难度]中

B

若函数f(x)33与g(x)33xxxx的定义域均为R，则（

）. A. f(x)与g(x)与均为偶函数

B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C. f(x)与g(x)与均为奇函数

D.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

【经典例题】

例1.

已知xx1213，求下列各式的值：

12（1）xx；

（2）xx3232.

11112解：题目中给出的关于x与x的式子，观察到xx，xx2，而311xx2，x2x2. 323322（1）∵

(xx)(x)2xx由xx1121221221212(x)x1x12325．

12121223，

可知x0，

∴xx3232123123125．

1221212（2）∵xx＝（x)(x)(xx)[(x)xx1212112(x)]

122

(xx)[(xx)1]5(31)25．

例2．

函数y2x的图象大致是（

）. x2

x2解：因为当x2或4时，2x0，即函数图象在y轴右侧与x轴有两个交点，所以排除B，C；

当x2时，2x

[来源学科网Z|X|X|K]x2

140，故排除D，所以选A．

44x1例3．

函数f(x)的图象（

）. x2A. 关于原点对称

B. 关于直线yx对称

C. 关于x轴对称

D. 关于y轴对称

解：根据选项特点，只需确定函数是奇函数、偶函数，或点（x，y）是否在函数图象上. 4x114xf(x)

f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

∵f(x)xx22

例4.

图中曲线表示指数函数

（1）yax，（2）ybx，（3）ycx，（4）ydx

的图象，则a,b,c,d与1的关系是（

）

A.ab1cd

B.ba1dc

C.1abcd

D.ab1dc

解法1：指数函数yax中，当a1时，函数是单调递增的，当0a1时，函数是单调递减的，所以③④的底数大于１，①②的底数小于１．

当指数函数底数大于１时，图象随底数越大越靠近y轴，即1dc；当指数函数底数小于１时，图象随底数越小越靠近y轴，即ba1，所以ba1dc，选B．学_科_网Z_X_X_K][来源

解法2：令x1，则四个函数所得的函数值分别为a,b,c,d，从图象可以明显看出ba1dc．

例5.

函数f(x)x(115),a,bR,定义域为xR,且x0f(2)，已知. x2ba3（1）

求函数f(x)的解析表达式；

（2）

判断函数f(x)的奇偶性. 解：（1）∵函数fx的定义域为,00,，即当x=0时函数解析式没有意义，

x∴当x0时，2b1b0，

∴b1．

∵f2

515111，∴22，∴a2．∴fxxx．

321a3212（2）证法1：∵函数fx的定义域为,00,，

xxxx2xxx211x∴fxxx

x212212212

xxxxxfx，

∴函数fx为偶函数．

2x122x12证法2：∵函数fx的定义域为,00,，

x2x1xxxxx2xxx∴fxfxxx0．

x2122x1212x2x121即fxfx．∴函数fx为偶函数．

[来源学科网]

指数函数yax的相关性质：

（1）定义域为R；

（2）值域为0,；

（3）单调性：当a1时在定义域内为增函数；当0a1时在定义域内为减函数；

（4）奇偶性：是非奇非偶函数；

（5）对称性：yax与yax的图象关于y轴对称；yax与yax的图象关于【本课总结】

x轴对称；yax与yax的图象关于坐标原点对称；yax与ylogax的图象关于直线yx对称；

（6）有两个特殊点：(0,1)，不变点(1,a)；

x（7）抽象性质：对于f(x)a（a0，且a1）有f(xy)f(x)f(y)，f(xy)

f(x).

f(y)【活学活用】

1.

[难度]中

比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5与1.7；

（2）0.830.1与1.25；

0.2

（3）1.70.3与0.93.1；

（4）4.54.1与3.73.6．

2.

[难度]中

设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb（b为常数），则f(1)（

）

A.3

B.1

C.1

D.3

3.

[难度]难

讨论函数fxx22x13的单调性，并求其值域．