习题2.2主要内容及教案内容

指数函数及其性质的应用

学习目标

1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点)．

考查方向

方向1 比较两数的大小

【例1－1】

(1)下列大小关系正确的是(

) A．0.43<30.4<π0

C．30.4<0.43<π0

B．0.43<π0<30.4

D．π0<30.4<0.43

题型一

指数函数单调性的应用

(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(

) A．a

B．a

C．b

D．b

解析

(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B．

(2)∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C．

答案

(1)B

(2)C 方向2 解简单的指数不等式

13x－1【例1－2】

(1)不等式2≤2的解集为________．

(2)已知a－5x>ax7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．

＋1－113x－1≤1－1，1x在R上是减函数，(1)解析

∵2＝，∴原不等式可化为∵函数y＝2222∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．

答案

{x|x≥0} (2)解

当a>1时，∵a当0ax7，∴－5x>x＋7，解得x<－；

67＋>ax7，∴－5x－. 677综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0－. 66方向3 指数型函数的单调性

1x2－2x【例1－3】

判断f(x)＝的单调性，并求其值域．

31u解

令u＝x2－2x，则原函数变为y＝3.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

1u又∵y＝3在(－∞，＋∞)上递减，

1x2－2x∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

3∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

1u∴y＝3，u∈[－1，＋∞)，

1u1－1∴0＜3≤3＝3，

∴原函数的值域为(0,3]．

规律方法

1.比较幂值大小的三种类型及处理方法

2．解指数不等式的类型及应注意的问题

(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论．

(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．

3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧

当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0

题型二

指数函数的实际应用

【例2】

某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液1含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. 3(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；

(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？

解

(1)过滤1次后的杂质含量为2122×1－3＝×；

1001003221222过滤2次后的杂质含量为100×3×1－3＝100×3；

2212232过滤3次后的杂质含量为100×3×1－3＝100×3；



…

过滤n次后的杂质含量为22n×(n∈N*)．

100322n×3(n∈N*)．

100故y与n的函数关系式为y＝(2)由(1)知当n＝7时，y＝当n＝8时，y＝227641×3＝>，

10054 6751 0002281281×3＝<，

100164 0251 000所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．

规律方法

指数函数在实际问题中的应用

(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题．

(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．

【训练1】

春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

解析

假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．

－答案

19 题型三

指数函数性质的综合应用

1【例3】

已知定义在R上的函数f(x)＝a＋x是奇函数．

4＋1(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

解

(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，

∴f(0)＝0，

11即a＋＝0，a＝－. 2211(2)由(1)知f(x)＝－＋x，

24＋1故f(x)在R上为减函数．

(3)∵f(x)为奇函数，

∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)

由(2)知f(x)在R上单调递减，

∴t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，

1∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，

31－∞，－. ∴k的取值范围是3规律方法

解决指数函数性质的综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．

(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．

113【训练2】

已知函数f(x)＝2x－1＋2·x. (1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)证明：f(x)>0. (1)解

由题意得2x－1≠0，即x≠0，

∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

2x＋111(2)解

令g(x)＝x＋＝x，φ(x)＝x3. 2－1222－12x＋11＋2x∵g(－x)＝－x＝＝－g(x)，

22－121－2x－∴g(x)为奇函数．

又∵φ(x)＝x3为奇函数，

113＋∴f(x)＝2x－12·x为偶函数．

(3)证明

当x>0时，2x>1，

11∴2x－1>0，∴x＋>0. 2－12∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.

课堂达标

1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(

) A．m>n

B．m

C．m＝n

D．不能确定

解析

因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m

答案

B 1|x|2．f(x)＝2，x∈R，那么f(x)是(

) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数

C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数

D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

1x解析

由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝2是减函数．

答案

D 11－x3．函数y＝2的单调递增区间为(

) A．(－∞，＋∞)

C．(1，＋∞)

解析

定义域为R. 1u设u＝1－x，y＝2. ∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数．

1u又∵y＝2在(－∞，＋∞)上为减函数，

11－x∴y＝2在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴选A．

答案

A 4．不等式23－2xB．(0，＋∞) D．(0,1) <0.53x－4的解集为________．

－2x解析

原不等式可化为23<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．

答案

{x|x<1} 5．比较下列各组值的大小：

(1)1.8－0.1,1.8－0.2；

(2)1.90.3,0.73.1；

(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1)．

解

(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8(2)因为1.90.3>1.90＝1,0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3

当0a2.5. 课堂小结

－0.1>1.8－0.2.

1．比较两个指数式值大小的主要方法

(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn. 2．解简单指数不等式问题的注意点

(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．

(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．