复习参考题教学设计模板

习题课

基本初等函数

学习目标

1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．

1．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是(

) A．0.76<60.7

C．log0.76<60.7<0.76

B．0.76

D．log0.76<0.76<60.7

解析

由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log0.76<0，∴log0.76<0.76<60.7，故选D．

答案

D 2．已知0

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析

因为0

答案

C 143．lg 32－lg 8＋lg 5＝________. 231431511111解析

原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝23222222221lg 10＝. 21答案

24．函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋7)的值域是________．

解析

∵－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8≤8，

∴log2(－x2＋2x＋7)≤log28＝3，故f(x)的值域是(－∞，3]．

答案

(－∞，3]

类型一

指数与对数的运算

【例1】

计算：

32(1)2log32－log3＋log38－5log53；

91417－－030.75(2)0.0643

－－＋[(－2)]3

＋16＋0.012

. －8

- 1 -

22×8解

(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1. 3294(2)原式＝3(1＋43)－1＋2

0.42×－－×－351111434＋0.1＝2－1＋16＋8＋10＝80. 

规律方法

指数、对数的运算应遵循的原则

(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；

(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．

【训练1】

计算：

－1－4102

×(1)－4－＋0.25；

223314(2)log327－＋2log510＋log50.25＋71log2. 371解

(1)原式＝－4－1＋×(2)4＝－3. 2343

171721－4＋log5(100×0.25)＋7÷7log2＝log33

＋log552＋＝－＋2＋＝. 7(2)原式＝log332424类型二

指数、对数型函数的定义域、值域

1x－2x＋2【例2】

(1)求函数y＝(0≤x≤3)的值域；

223xx(2)已知－3≤log1

x≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．

22421t22解

(1)令t＝x2－2x＋2，则y＝.又t＝x－2x＋2＝(x－1)＋1,0≤x≤3，∴当x＝1时，

2tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，

1511，故所求函数的值域为1，1. ∴≤y≤2232233(2)∵－3≤log1

x≤－，∴≤log2x≤3，

2223xx1log2x－2－. ∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝24243当log2x＝3时，f(x)max＝2，当log2x＝时，

21f(x)min＝－. 4规律方法

函数值域(最值)的求法

- 2 -

(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围．

(2)配方法：适合二次函数．

1－x21－y(3)反解法：有界量用y来表示．如y＝由x2＝≥0可求y的范围，可得值域．

2中，1＋x1＋y(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．

(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．

3x2【训练2】

(1)函数f(x)＝＋lg3x＋1的定义域是________．

1－xlog1x，x≥1，(2)函数f(x)＝2的值域为________．

2x，x<11－x>0，解析

(1)由题意可得3x＋1>0，lg3x＋1≥0，则f(x)的定义域是[0,1)．

(2)当x≥1时，log1

x≤log1

1＝0，当x<1时，0<2x<21＝2，

22

解得0≤x<1，

所以f(x)的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．

答案

(1)[0,1)

(2)(－∞，2) 类型三

指数函数、对数函数、幂函数的图象问题

【例3】

(1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(

)

1(2)当0

) 2A．0，22

B．，1

22C．(1，2)

＋D．(2，2) 解析

(1)由loga2<0(a>0，且a≠1)，可得0

1(2)∵0

- 3 -

只需2

0

22a>xlogaa

0

2a>，2答案

(1)A

(2)B 规律方法

函数图象及应用

(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．

(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．

2xx<0，【训练3】

(1)函数y＝x的图象大致是(

) 2－1x≥0

(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________．

解析

(1)当x<0时，y＝x2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C和D；当x≥0时，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A，选B．

(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝|ax－2|和y＝3a的图象，因为a>1，所以3a>3，故两函数图象只有一个交点．

当0

3

- 4 -

20，. 综上所述，a的取值范围是320，

答案

(1)B

(2)3类型四

比较大小问题

【例4】

比较下列各组中两个值的大小：

(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；(2)log53，log63，log73. 解

(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9

∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9. (2)∵0

∴log53>log63>log73. 规律方法

数(式)的大小比较常用的方法及技巧

(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．

(2)常用的技巧：

①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

【训练4】

(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(

) A．a>b>c

B．b>a>c C．b>c>a

D．c>b>a

10.3(2)设a＝log1

2，b＝log1

3，c＝3，则(

) 32A．a

B．a

D．b

解析

(1)∵a＝log20.320＝1,0c>a.故选C．

10.3(2)∵a＝log1

2<0，b＝log1

3<0，log1

3

2

2，c＝3>0.∴b

32223答案

(1)C

(2)D 类型五

指数函数、对数函数、幂函数的综合应用

1＋2x＋a·4x【例5】

已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

31＋2x＋a·4x解

因为f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，

3所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．

因为4x>0，

1x＋1x在(－∞，1]上恒成立．

所以a>－42

- 5 -

1x＋1x，x∈(－∞，1]．

令g(x)＝－421x1x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，

由y＝－与y＝－42113＋＝－. 所以g(x)max＝g(1)＝－4241x＋1x在(－∞，1]上恒成立，

因为a>－423所以a应大于g(x)的最大值，即a>－. 43－，＋∞. 故所求a的取值范围为4规律方法

函数性质的综合应用

指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．

【训练5】

函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．

1－x>0，解

(1)要使函数有意义，则有

x＋3>0，

解得－3

(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝

loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．

∵－3

＝. －2－2

1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．

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